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2010年广东省初中毕业生学业考试
数 学
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1． （2010广东东莞，1，3分）－3的相反数是（ ）
A．3 B． C．－3 D．
【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．从而可得－3的相反数是3
【答案】A
【涉及知识点】相反数的定义
【点评】本题属于基础题，主要考查对相反数的概念的掌握情况．
【推荐指数】★
2． （2010广东东莞，2，3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不是同类项不能合并，乘法分配律运用时要将括号外的因式与括号内的各个因式分别相乘，不能漏乘．
【答案】C
【涉及知识点】同类项，整式的运算，乘法公式．
【点评】本题属于基础题，主要考查整式运算中的有关知识，其中同类项要有三个同：所含字母相同，相同字母的指数相同；去括号法则的理论依据是乘法分配律，还有乘法公式的运用要注意区分平方差公式与完全平方公式的区别．对整式基本运算的知识点考查比较全面，信度较高．
【推荐指数】★★★
3． （2010广东东莞，3，3分）如图，已知∠1＝70°如果CD‖BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可得的邻补角与∠B相等，
所以∠B＝180°－70°＝110°
【答案】C
【涉及知识点】平行线性质，邻补角
【点评】本题考查了平行线的性质定理，考查知识点单一，属于简单题，信度较高．
【推荐指数】★★
4． （2010广东东莞，4，3分）某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
【分析】将这组数据从小到大排列后的顺序为：5，6，6，7，8，9，10．数据个数为7个，所以其中位数是其中第四个，即7；其中数据6出现的次数最多，因此众数为6．
【答案】B
【涉及知识点】中位数，众数
【点评】本题考查数据的中位数、众数，属基本概念题，比较简单．只要掌握概念，就可以得分．
【推荐指数】★★★
5． （2010广东东莞，5，3分）左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（ ）
【分析】根据几何体的摆放，其俯视图应为第四个．
【答案】D
【涉及知识点】几何体的三视图
【点评】本题考查的知识点只有一个，要求考生有一定的空间想象力，属于基础题．
【推荐指数】★★★
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
6． （2010广东东莞，6，4分）据新华网上海6月1日电：世博会开园一个月来，客流平稳，累计至当晚19时，参观者已超过8000000人次．试用科学记数法表示8000000＝ ．
【分析】8000000＝8×1000000，1000000＝106，所以8000000＝8×106
【答案】8×106
【涉及知识点】科学记数法
【点评】
【推荐指数】★★★★
7． （2010广东东莞，7，4分）分式方程 的解 ＝ ．
【分析】最简公分母为 ，所以两边同时乘上（ ），得： ，解得 ，检验： 时， ．所以 是方程的解．
【答案】
【涉及知识点】分式方程
【点评】解分式方程的关键是利用等式的性质去分母，将分式方程转化为一元一次方程，体现了转化的数学思想；解分式方程的另一个注意点是一定要检验，以防产生增根．
【推荐指数】★★★★★
8． （2010广东东莞，8，4分）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝ ，则AC＝ ．
【分析】由∠B＝∠CAD，可得cosCAD＝ ，因为AD＝4，所以AC＝5
【答案】5
【涉及知识点】解直角三角形
【点评】作为每年中考的必考知识点之一，解直角三角形的试题一般难度都不大，以考查基本概念为主，但如果混淆概念的话，将难以得分．
【推荐指数】★★★★★
9． （2010广东东莞，9，4分）某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程： ．
【分析】根据题意，得2008年的商品房每平方米的平均价格为 ，2009年的商品房每平方米的平均价格为
【答案】
【涉及知识点】一元二次方程解决实际问题
【点评】本题主要考查列一元二次方程解决实际问题，属常规题，难度不大．
【推荐指数】★★★★
10．（2010广东东莞，10，4分）如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为 ．
【分析】AA1＝1，AB1＝2，所以A1B1＝ ；A1A2＝ ，A1B2＝ ，所以A2B2＝5＝ ；根据规律可以发现正方形AnBnCnDn的边长为 ，所以其面积为
【答案】625
【涉及知识点】勾股定理，正方形的面积
【点评】本题巧妙地将求正方形的面积与勾股定理结合，并采用了规律探索的形式，对考生的思维能力要求较高，难度中等略偏上．
【推荐指数】★★★★★
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（2010广东东莞，11，6分）计算： ．
【答案】原式＝2＋2－2× ＋1＝4－1＋1＝4
【涉及知识点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂
【点评】实数的运算一直是中考中的重要内容，经常与负整数指数幂、零指数幂及绝对值、特殊角的三角形函数值一起组合出题，题目不难，主要考查考生对基本概念的掌握和运算的基本功．
【推荐指数】★★
12．（2010广东东莞，12，6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】原式＝ ；当 时，原式＝
【涉及知识点】因式分解，分式的乘除，二次根式的化简
【点评】分式的运算总是与因式分解密不可分，本题比较简单，但在求值时应注意先化简这一前提，不能直接将 代入式子求值；最后的结果也要化为最简二次根式．
【推荐指数】★★★
13．（2010广东东莞，13，6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－6，1），点B的坐标为（－3，1），点C的坐标为（－3，3）．
⑴将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标．
⑵将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形
【答案】
A1（－1，1）
【涉及知识点】平移，旋转，平面直角坐标系
【点评】本题在平面直角坐标系中实现图形的平移、旋转，题目比较简单，属送分题．
【推荐指数】★★★
14．（2010广东东莞，14，6分）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．
⑴求∠POA的度数；
⑵计算弦AB的长．
【分析】⑴由PA是切线可得∠PAO＝90°；由OA＝2，OP＝4得∠APO＝30°，
所以∠POA＝60°．
⑵根据AB⊥OP得△AOC为直角三角形，又由∠POA＝60°，AO＝2得OC＝1，所以AC＝ ；根据垂径定理，有CB＝AC＝ ，所以AB＝
【答案】⑴∵PA与⊙O相切于A点
∴∠PAO＝90°
∵OA＝2，OP＝4
∴∠APO＝30°
∴∠POA＝60°
⑵∵AB⊥OP
∴△AOC为直角三角形，AC＝BC
∵∠POA＝60°
∴∠AOC＝30°
∵AO＝2
∴OC＝1
∴在Rt△AOC中，
∴AB＝AC＋BC＝
【涉及知识点】垂径定理，切线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理
【点评】本题属于垂径定理、切线性质的基本运用，综合了直角三角形的相关知识，难度不高，容易上手，只要掌握了基本概念，运算仔细，就可以拿分．
【推荐指数】★★★★★
15．（2010广东东莞，15，6分）如图，一次函数y＝kx－1的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（2，1）．
⑴试确定k、m的值；
⑵求B点的坐标．
【分析】⑴把A点坐标分别代入两个函数表达式，就可以解得 ；⑵将两个解析式联立构成一个方程组，解方程组可得两个坐标，又因为B点在第三象限，所以可以确定B点的坐标．
【答案】⑴把点（2，1）分别代入函数解析式得： ，解得
⑵根据题意，得 解得 ， （舍去）所以B点坐标为（－1，－2）
【涉及知识点】待定系数法求函数解析式，函数与方程（组）
【点评】待定系数法求函数解析式和求函数图象的交点坐标都是历年中考中出现频率相当高的知识点，本题着重考查基本概念、方法的运用，比较简单，稍加注意就可得满分．
【推荐指数】★★★★
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（2010广东东莞，16，7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等分、3等分的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
⑴试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
⑵请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
【答案】⑴列表：
1 2 3 5
1 1 2 3 5
2 2 4 6 10
3 3 6 9 15
所以P（奇）＝
⑵由表格得P（偶）＝ ，所以P（奇）＝P（偶），所以游戏规则对双方是公平的．
【涉及知识点】概率
【点评】用列表法或树状图求概率是中考中的常见题型，只要掌握求概率的基本方法，一般不会失分，此题较简单．
【推荐指数】★★★★
17．（2010广东东莞，17，7分）已知二次函数 的图象如图所示，它与 轴的一个交点坐标为（－1，0），与 轴的交点坐标为（0，3）
⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；
⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【答案】⑴根据题意，得： ，解得 ，所以抛物线的解析式为
⑵令 ，解得 ；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜ ＜3．
【涉及知识点】待定系数法，二次函数，一元二次方程，数形结合思想
【点评】本题除了考查待定系数法、方程（组）的解法外还涉及到数形结合这一重要数学[思想，第二小题有一定的难度，相当多的考生可能会列出一个一元二次不等式却无法解决，但利用图象解更直观，更方便．
【推荐指数】★★★★★
18．（2010广东东莞，18，7分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．
⑴试说明AC＝EF；
⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．
【分析】⑴由等边△ABE得∠ABE＝60°，AB＝BE，由EF⊥AB得∠BFE＝90°，从而可证△ABC≌△EFB，得AC＝EF
⑵由等边△ACD得AD＝AC，∠CAD＝60°，所以∠BAD＝90°，则AD‖EF，由AC＝EF得AD＝EF， 所以四边形ADFE为平行四边形
【答案】⑴∵等边△ABE
∴∠ABE＝60°，AB＝BE
∵EF⊥AB ∴∠BFE＝∠AFE＝90°
∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°
∴∠ABC＝60°
∴∠ABC＝∠ABE，∠ACB＝∠BFE＝90°
∴△ABC≌△EFB，
∴AC＝EF
⑵∵等边△ACD
∴AD＝AC，∠CAD＝60°
∴∠BAD＝90°，∴AD‖EF
∵AC＝EF
∴AD＝EF
∴四边形ADFE是平行四边形．
【涉及知识点】等边三角形，直角三角形，平行四边形的判定
【点评】特殊三角形与平行四边形一直是中考的必考内容，此题将两者巧妙地组合，且难度不高，是道好题．
【推荐指数】★★★★★
19．（2010广东东莞，19，7分）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？
【分析】⑴可借助表格分析：
数量 能载人数 能载行李数
甲车
40
16
乙车 10－
30（10－ ）
20（10－ ）
题中隐含了不等关系：装载能力不小于装载需求，即：
甲车所能装载人数＋乙车所能装载人数≥340；
甲车所能装载行李数＋乙车所能装载行李数≥170
根据两个不等关系列出不等式组，解出这个不等式组的解集，取其中的正整数解即可得方案；
⑵可用含 的式子表示租车的总费用W＝2000 ＋1800（10－ ）＝200 ＋18000，这是一个一次函数，根据一次函数的增减性可得使租车费用最省的方案．
【答案】⑴设租用甲种型号的车 辆，则租用乙种型号的车（10－ ）辆，根据题意，得：
解得：4≤ ≤ ．因为 是正整数，所以 ．所以共有四种方案，分别为：方案一：租用甲种车型4辆，乙种车型6辆；方案一：租用甲种车型5辆，乙种车型5辆；方案一：租用甲种车型6辆，乙种车型4辆；方案一：租用甲种车型7辆，乙种车型3辆．
⑵设租车的总费用为W，则W＝2000 ＋1800（10－ ）＝200 ＋18000， ＞0，W随 的增大而增大，所以当 即选择方案一可使租车费用最省．
【涉及知识点】不等式组，一次函数
【点评】不等式组的实际应用一直是中考的必考点之一，解决问题的关键在于正确找出题中的不等关系，从而得到不等式组，再确定其正整数解，而对其中的选择最优方案问题，通常借助一次函数的增减性来解决．
【推荐指数】★★★★
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（2010广东东莞，20，9分）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图⑴放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．
⑴求证：△EGB是等腰三角形；
⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高
【分析】⑴要证等腰三角形，只需证∠EBA＝∠E＝30°即可；⑵由旋转知FC＝ ，当四边形ACDE成为以ED为底的梯形时，ED‖AC，则ED⊥CB，此时，旋转角∠DFB＝30°，又由DF＝2，得点F到ED的距离为 ，从而可得梯形的高．
【答案】⑴∵∠EFB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠EBG＝30°
∵∠E＝30°
∴∠E＝∠EBG
∴EG＝BG
∴△EGB是等腰三角形
⑵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4
∴BC＝ ；
在Rt△DEF 中，∠EFD＝90°，∠E＝30°，DE＝4
∴DF＝2
∴CF＝ ．
∵四边形ACDE成为以ED为底的梯形
∴ED‖AC
∵∠ACB＝90°
∴ED⊥CB
∵∠EFB＝90°，∠E＝30°
∴∠EBF＝60°
∵DE＝4∴DF＝2
∴F到ED的距离为
∴梯形的高为
【涉及知识点】解直角三角形，旋转，等腰三角形的判定，梯形
【点评】旋转的本质是旋转不改变图形的形状、大小，抓住了这一点，就可以很容易地求出CF的长，这也是本题中求出梯形的高的关键．本题难度并不大，但兼容了许多知识点，对考生的知识综合应用能力要求较高．
【推荐指数】★★★★
21．（2010广东东莞，21，9分）阅读下列材料：
1×2＝ （1×2×3－0×1×2），
2×3＝ （2×3×4－1×2×3），
3×4＝ （3×4×5－2×3×4），
由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下各题：
⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；
⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）＝ ；
⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝ ．
【分析】
【答案】⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11
＝ ×（1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3…＋10×11×12－9×10×11）
＝ ×10×11×12
＝440
⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）
＝ ×[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋…
＋ ]
＝
⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9
＝ ×[1×2×3×4－0×1×2×3×4＋2×3×4×5－1×2×3×4＋…＋7×8×9×10－6×7×8×9]
＝ ×7×8×9×10
＝1260
【涉及知识点】实数的运算
【点评】规律运算类试题的关键在于找出其中的内在规律，前两问难度适中，第三问有一定的难度，只有认真分析，真正找出其中规律后才能确定其最前面的分数是 而不是 ．
【推荐指数】★★★
22．（2010广东东莞，22，9分）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
⑴说明△FMN ∽ △QWP；
⑵设0≤ ≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问 为何值时，△PQW为直角三角形？当 在何范围时，△PQW不为直角三角形？
⑶问当 为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
【分析】⑴由中位线定理可得PQ‖FN，PW‖MN，WQ‖MF，根据平行线性质可知∠PQW＝∠MFN，∠PWQ＝∠FMN，则可证两三角形相似；⑵不论点如何运动，当点M在线段DA上时，MD＝BN＝ ，则AM＝ ，AN＝ ，可先用含 的式子分别表示线段MN、MF、NF的平方，再分别讨论当M、N、F为直角顶点时，对应的就是W、P、Q为直角顶点，根据勾股定理可列出方程，求出相应的 的值；⑶因为点N在线段AB上，点M在射线DA上，ABDA，所以根据“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”可知当M点运动到与A点重合时，MN最短．此时，DM＝BN＝4，MN=2．
【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点
∴PQ‖FN，PW‖MN
∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW
同理：∠NFM＝∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP
⑵
由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝ ，∴AM＝4－ ，AN＝DE＝6－
∵DF＝2，∴EF＝4－
∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，NF2＝（4－x）2＋42＝x2－8x＋32,
① 如果∠MNF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，解得x1＝4，x2＝10（舍去）；
②如果∠NMF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝－12＜0，方程无实数根；
③如果∠MFN＝90°，则有2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，解得x＝ ．
∴当 为4或 时，△PQW为直角三角形，当0≤ ＜ 或 ＜ ＜4时，△PQW不为直角三角形
⑶∵点M在射线DA上，点N在线段AB上，且AB⊥AD，∴当M点运动到与A点重合时，NM⊥AD，根据垂线段最短原理，此时线段MN最短，DM＝4，则BN＝4．
∴当 ＝4时，线段MN最短，MN＝2．
【涉及知识点】相似三角形，勾股定理，点到直线的距离
【点评】本题是一个动态问题，对于动态问题，需抓信题中的不变关系配不变量，同时需根据运动过程进行分类讨论，题型也、比较新颖，有利于对考生思维的培养，本题的难度属中等．
【推荐指数】★★★★
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