怎样证明正项级数收敛？

Question

如题所述

Answer 1

证明过程如下：

比较判别法(comparison test)，是判别正项级数收敛性的基本方法。

当你用级数表示数列时，数列的单调递增就变成了级数的通项恒正。因此，我们首先研究所谓的正项级数。

另外，上次通过 Cauchy 收敛原理，发现了一种强于收敛性的性质是绝对收敛性，也就是将级数的通项变为原来的绝对值，再讨论收敛性。对于正项级数，收敛性和绝对收敛性等价。

由于正项级数对应单调递增数列，收敛性等价于有界性，这就使得正项级数的收敛性讨论变得比较容易。比较判别法是由此带来的最朴素的判别法。

以下级数都是正项级数，数列都是单调递增正数列。

显然，对于两个数列，它们的对应项有不变的大小关系，那么如果较大的有界，那么较小的也有界；如果较小的无界，那么较大的也无界。

并且上述比较不一定需要考察每一项，前若干项不符合也是无妨的。

另一方面，对一个数列的各项乘一个非零常数，也不影响它的有界性。