sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
最后以省略号结束，代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，准确地说就是通项公式。然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了，就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分，其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到，凡是把右边微分后，第一项(常数)就为 0 了，也就是可以直接忽略。
这样一来，等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项。当然，x = 0 时等式也会成立，那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来，就可以顺利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程，下面是对于所有系数得到的等式。
最后，等式左边是四个一循环，可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后，等是右边可以用字母来代替，就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘。所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
如果将系数数列 a 代入，那么偶数项都会消掉(系数为 0)，只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开):
泰勒展开是一个非常有用的数学工具，它可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式之和。使用泰勒展开的方法如下：
确定泰勒展开的点：选择一个点x0，在该点处对函数f(x)进行泰勒展开。通常情况下，选择x=0作为展开点，此时泰勒展开式变为麦克劳林展开式。
写出泰勒展开式：根据泰勒定理，函数f(x)在点x0处的泰勒展开式为：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x−x0)+f''(x0)(x−x0)2!+⋯+f(n)(x0)(x−x0)n!+⋯
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。
确定泰勒级数的项数：根据具体问题的需要，确定泰勒级数的项数。项数越多，展开式的精度越高，但同时计算量也会增大。
代入计算：将具体的x值代入泰勒展开式中，进行计算。在计算过程中，需要注意计算精度和计算量的平衡。
误差估计：根据需要，可以使用拉格朗日余项或皮亚诺余项等公式估计泰勒展开的误差。
下面是一个使用泰勒展开的示例：
求sin(x)在x=π/2处的泰勒展开式。
解：首先，我们知道sin(x)的导数为cos(x)，二阶导数为-sin(x)，以此类推。
在x=π/2处，我们有：
sin(x)=sin(π/2)+cos(π/2)(x−π/2)−sin(π/2)(x−π/2)2!+⋯+f(n)(π/2)(x−π/2)n!+⋯
由于cos(π/2)=0，sin(π/2)=1，所以展开式简化为：
sin(x)=1+(−1)1!×(x−π/2)+(−1)2!×(x−π/2)2+⋯+(−1)n!×(x−π/2)n+⋯
这是一个无穷级数，每一项的系数都是(-1)的幂次方。