关于相似三角形:如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于

Question

如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB*AF=CB*CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=x(cm)(x＞0),四边形BCDP的面积为y(cm).
①求y关于x的函数关系式
②当x为何值时，△PBC的周长最小，求出y。

Answer 1

证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴ CD/AB=CF/CB，即 CD/AB=AF/CB．
∴AB•AF=CB•CD．

解：（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC= 12　(勾股定理)
∴CF=AF=6
∴ y=12(x+9)×6=3x+27（x＞0）
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．
由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．
此时DP=DE，PB+PA=AB．
由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，
△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得AE=BE= 1/2AB= 15/2，
EF= 9/2．
∴AF：BC=AD：AB，即6：9=AD：5．
∴AD=10．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+ 9/2= 25/2．
∴当x= 25/2时，△PBC的周长最小，
此时y= 129/2．

Answer 2

（1）由AD=CD，AC⊥DF，
∴DF是AC的垂直平分线，即AF=FC
又△ABC中，∠ACB=90°，△ADE中，∠DAE=90°，∠CAB+∠DAC=90°，∠DAC=∠DCA，并且∠DCA+∠CDF=90°，
∴∠CAB=∠CDF，∴△ABC∽△DFC，∴AB：CD=BC：CF
∴AB：CD=BC：CF=BC：AF，即AB*AF=CD*CB
（2）①因为DE‖BC，∴四边形BCDP是平行四边形。
AC＝√（152－92）＝12，CF＝12×1/2＝6，Y＝1/2*（9＋x）×6＝3x＋27
②∵AD=DC，∴△PAC为等腰三角形，
∴PC=PAS△PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BCBC固定为9，∴当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
∴x=DE △AEF∽△ADE AF=6，AE=7.5 ∴EF=4.5
∴DE/AE=AE/EF推出DE=12.5∴x=12.5cm
此时y=3（9+x）=64.5cm

Answer 3

证明1：角AFD=角ACB=90°
=》AD/AF=AB/BC
=》AB*AF=AD*BC
又因为AD=CD
=》AB*AF=CB*CD

Answer 4

（1）证明：∵DA=DC，DF⊥AC ∴DF垂直平分AC ∴∠DAC=∠DCA
∵∠DAC+∠CAB=90° ∠CAB+∠B=90° ∴∠B=∠DCA
∵∠DFC=∠ACB=90° ∴△DFC∽△ACB ∴AB/BC=CD/CF
∵AC=CF ∴AB*CF=CB*CD 得证
(2) 1、勾股定理 求出 AC=12 所以CF=6
∵∠ACB=90 ∠DFC=90
∴DF//BC 即 CF 是梯形 BCPD的高
∴ y=(x+9)*6/2 = 3X+27

2、肯定在E点最小 但是不知道怎么说明 数据用勾股定理加第一问求的相似 可以求到DF和EF分别多长 然后求出面积

Answer 5

（1）证明：∵DA=DC，DF⊥AC ∴DF垂直平分AC ∴∠DAC=∠DCA
∵∠DAC+∠CAB=90° ∠CAB+∠B=90° ∴∠B=∠DCA
∵∠DFC=∠ACB=90° ∴△DFC∽△ACB ∴AB/BC=CD/CF
∵AC=CF ∴AB*CF=CB*CD 得证
（2）

Answer 6

（1）证明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴

AF
BC
=

AD
AB
．

∴AF•AB=BC•AD．
∵AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD．

（2）解：C△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分线．
∴PC=PA根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小．
∵∠ACB=90°，
∴AC=
AB2-BC2
=12．

∴AF=
1
2
AC=6．

∵AF•AB=CB•AD，即6×15=9•AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位线，
∴AE=
1
2
AB=7.5．∴DE=

AD2+AE2 =12.5．∴x=12.5时，△PBC周长最小．