第一章：数列的收敛世界</
1.1 数列收敛基础</
例1：</我们来探讨一个数列的收敛性。证明：</通过数列定义，我们观察其项的分布趋势，发现随着项数的增加，其值趋向于一个固定的数L，这就是数列的收敛性。
例2：</另一个数列，我们通过单调有界定理来验证它。证明：</数列中的每一项都比前一项大（或小），并且有个上（下）界，这表明它必然收敛。
1.2 几种重要准则</
例3：</Cauchy收敛准则的应用展示了一个关键特性。证明：</如果数列满足Cauchy准则，即任意小的差距都能找到一个项数，使得之后的项都落入该差距内，那么这个数列必然收敛。
1.3 夹逼准则的力量</
例4：</数列被两个收敛数列夹在中间，证明：</这种夹逼现象足以确定原数列的极限。
1.4 Stolz定理的魔力</
例5：</看这道难题，利用Stolz定理，我们如何找到这个极限？解：</通过逐项差异，Stolz定理为我们揭示了答案。
1.5 边缘技巧：D'Alembert判别法</
对于一些特殊数列，D'Alembert判别法则显得尤为巧妙。但在这里，我们先专注于基础理论，详细内容将在后续章节深入讲解。
1.6 Toeplitz定理的揭秘</
Toeplitz定理在数列级数中扮演着重要角色，但同样需要进一步的探讨。让我们在后续章节中一探究竟。
1.7 数列极限的上下边界</
对于数列的上下极限，子列的极限特性提供了一个独特的视角。子列的极限不仅限于原数列，还包括无穷大量子列的情况。
第二章：数列发散的探索</
2.1 发散的证明之路</
例7：</通过直接应用发散定义，我们证明了这个数列的不可收敛性。证明：</它的项值没有收敛的趋势，因此是发散的。
2.2 无界的命运</
例8：</无界数列的特性显而易见，证明：</Oresme定理揭示了它们必定发散。
2.3 Cauchy准则的反例</
再次审视Cauchy准则，例9：</一个看似符合准则的数列，却揭示了发散的可能。证明：</它不满足收敛的条件，证明了发散的存在。