设M N分别为X轴和Y轴的动点 是否存在M（m,0） N（0，n）使四边形ABMN周长最短 A（2，-3） B（4，-1）

Question

如题所述

Answer 1

四边形ABMN周长 √(m^2+n^2) + √((m-2)^2+9) + √((n+1)^2+16) + √((4-2)^2+(-1+3)^2)
=√(m^2+n^2) + √(m^2-4m+13) + √(n^2+2n+17) + √8
把它看成是m，n的二元函数，考虑该函数在闭区间[-10,10]×[-10,10] 上的情况，
因为f(m,n)=√(m^2+n^2) + √(m^2-4m+13) + √(n^2+2n+17) + √8在闭区间[-10,10]×[-10,10] 上连续，所以它必有最小值。而 f(2,-1)=√5+3+4+√8,所以f(m,n)在闭区间[-10,10]×[-10,10]上的最小值fmin <= √5+3+4+√8 ，而在[-10,10]×[-10,10]以外的所有m，n都满足f(m,n) > 10√2 > fmin。
即f(m,n) 在闭区间[-10,10]×[-10,10]内的最小值即为整个实数平面内的最小值。
也就是存在M（m,0） N（0，n）使四边形ABMN周长最短。
因为f(m,n)的极小值点上两个一阶偏导数为0，从此还可以判断出m，n的取值范围为
0<m<2和-1<n<0，从而m=n=0时的情况不是其最小值，也避免出现ABMN是三角形的情况。