考研 线性代数问题

Question

同济五版线代
① P63 推论证明中 A可逆《=》存在可逆矩阵P，使PA=E。为什么不是AP=E
②矩阵方程AX=B 和XA=B ，第一个是行变换，第二个怎么看不懂啊，怎么解啊?。为什么不可以直接写成X=A（-1）B的形式，P65面写的是X=PB=A（-1）B。中间多了PB。求解答！

Answer 1

1. 因为这个推论的结果是: A可逆 <=> A与E行等价
所以在证明过程中, 用 A可逆<=> 存在可逆矩阵P，使PA=E.
PA=E 是说明 A经过初等行变换化成 E, 故A与E行等价.
如果用 AP=E, 则说明 A经过初等列变换化成 E, 故A与E列等价 !
一个用来证明行等价,一个用来证明列等价!

2. 由于矩阵的乘法不满足交换律
所以 AX=B =>(等式两边左乘A^-1) X=A^-1B
XA=B =>(等式两边右乘A^-1) X=BA^-1
P65. 这段说的是解AX=B的方法
P(A,B)=(F,PB) 即对矩阵(A,B)施行初等行变换
如果F = E, 则 PA = F = E, 此时 A 可逆, 且 A^-1 = P
所以有 PB = A^-1B = X.

3. 对于矩阵方程 XA=B, 方法是构造上下两块矩阵
A
B
对其施行初等列变换. 若上面一块化成E, 则下面一块就是 X.
原理和解AX=B一样.追问

1. 也就是说行等价和列等价都可以了，只不过平时行等价用得多一点。
另外，你是考研的吗，现代书上的定理证明 和 证明题如何处理。是不是没考过现代的证明题？

追答

1. 是
考研时定理的证明题少见

Answer 2

①可以这么写，p其实=A逆。
②第二个是列变换，AX=B→A（-1）AX=A（-1）B→EX=A（-1）B，即X=A（-1）B。那个P其实就是A（-1）。

Answer 3

1.都一样。因为，PA=E,P=A(-1),即，A(-1)A=E，AP=E,P=A(-1),即AA(-1)=E。二者是一样的。也就是说，对于可逆矩阵，AA(-1)=A(-1)A=E。这是最简单的道理。
2.把X看做一个能左乘A的矩阵，不一定是满秩的。这就相当于一个方程组，知道解求系数，其实跟AX=B是一样的做法，只不过是行还是列的问题。你可以列一列式子就知道了。至于最后一个，PB只是一个过渡吧？就相当于PA=E一样，其实表达的意思还是A(-1)B,只是为了更明了过渡一下，不要也可以。

Answer 4

呵呵，收到你的求助很高兴，这个问题刚开始学都比较模糊，你可以多理解下，左乘和右乘是不一样的，只要把这个理解透了，就好多了。我们知道书上有PA=E，那么P=A(-1),书上还有A(-1)A=E，那么AP=E,P=A(-1)。所以你可以在AX=B 和XA=B左乘还是右乘A(-1)，理解起来就是是行还是列的问题。你可以列一列方程式就好理解了，很多不好理解的你就具体的列些方程式，我开始就喜欢这样理解，便于理解得多。最后一个，其实就是 AP=E,P=A(-1)的变形，主要是告诉你B可以左乘一个数p得到X.p可以理解为是个可以解出来的未知数。

Answer 5

你如果去自学一下《抽象代数》你会理解得更深刻。