求解一道矩阵证明题

Question

求证：若A是正交矩阵，则|A|^2=1,且当|A|=-1时-1是A的一个特征值；当|A|=1且A为奇数阶时1是A的一个特征值。（尤其是我不知道怎么证“|A|^2=1”）

Answer 1

A是正交矩阵 的充分必要条件是 AA'=E.
两边取行列式得 |A||A'| = |E|.
A'是A的转置. E是单位矩阵.
所以 |A'| = |A|, |E| = 1
所以 |A|^2 = 1.

当|A| = -1时.
|A+E| = |A+AA'| = |A(E+A')| = |A||E+A'| = |A||(E+A)'| = -|E+A|.
所以 |A+E| = 0.
所以 -1是A的一个特征值

当|A| = 1时且A为奇数阶,
|A-E| = |A-AA'| = |A(E-A')| = |A||E-A'| = |(E-A)'| = |E-A|
= |-(A-E)| = (-1)^n|A-E| = -|A-E|.
所以 |A-E| = 0.
所以 1是A的一个特征值..

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Answer 2

(1)AB+A+B=E
两边同时加单位矩阵E
AB+A+B+E=2E
(B+E)(A+E)=2E
(B+E)[(A+E)/2]=E
故B+E为可逆矩阵
(2)由(1)知(B+E)[(A+E)/2]=E
故B+E的逆矩阵为(A+E)/2