三点求平面方程

Question

方程里的常数怎么求？

Answer 1

求过三点：M₁(x₁，y₁，z₁)；M₂(x₂，y₂，z₂)；M₃(x₃，y₃，z₃)的平面的方法：

设过M₁的平面方程为 A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0.................①

M₂，M₃都在此平面上，因此它们的坐标都满足方程①；将它们的坐标依次代入得：

A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0.............②

A(x₃-x₁)+B(y₃-y₁)+C(z₃-z₁)=0..............③

①②③是关于A、B、C的线性方程组，此方程组有非零解的充要条件是关于A、B、C的系数

行列式∆=0；即：

打开此行列式，就可得到所求平面的方程。

Answer 2

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，
代入(0,0,0)推出D=0，所以方程为Ax+By+Cz=0。
代入(1,1,1)得A+B+C=0 ①。
代入(3,2,-1)得3A+2B-C=0 ②。
①+②得4A+3B=0，则求出A：B：C=3：-4：1，取A=3，B=-4，C=1即可，
即平面方程为3x-4y+z=0。
注：求出A：B：C=3：-4：1就已经够了，因为3x-4y+z=0是平面方程，系数乘2得6x-8y+2z=0也是同一个平面方程。就像直线y=kx+b(b≠0)一样，y/b=(k/b)x+1也是同一个方程。

Answer 3

如果你是高中的话就只有设方程为AX+BY+CZ=D，然后带入三点，将系数求出来，如果上了大学或者学了向量的叉乘,就要用到行列式求出法向量，然后再利用点法式就可以直接求出。
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Answer 4