设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x，y)，设ρ(x，y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；
对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分，dm=ρ(x，y)ds；所以m=∫ρ(x，y)ds；L是积分路径，∫ρ(x，y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
扩展资料
量子力学
量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。
复分关系
如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。
计算步骤如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分别为曲线与x轴、y轴、z轴的夹角
则I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
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第一形曲线积分和第二形曲线积分区别
一、方法不同
第一型曲面积分最基本的计算方法就是同第二型曲面积分一样, 也是化为二重积分。
第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。
而关于 P(x,y,z)dzdx 的积分, 也变为了 P(c,y,z)dydz 的积分, 然后结合方向就可以化为二重积分.。同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦是如此。
二、积分对象不同
第一内类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。
三。应用场合不同
第一类曲线积分求非密度均匀的线状物体质量等问题，第二类曲线积分解决做功类等问题。
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（1）如果L由y=y（x）给出，x属于[a，b]
[公式]
（2）如果L由x=x（y）给出，y属于[c，d]，
[公式]
（3）如果L由[公式]，[公式]
[公式]
2、对坐标的曲线积分（第二类）
（1）如果L由y=y（x）给出，x属于[a，b]
[公式]
（2）如果L由x=x（y）给出，y属于[c，d]，
[公式]
（3）如果L由[公式]，[公式]
[公式]
好了，只是贴个公式，就占用了那么多篇幅，看来计算公式真的够冗长的。其实大家仔细观察上面的公式，无论第一型曲线积分还是第二型曲线积分，都只需要记住第三种情况就行了，因为前两种都是第三种的特殊形式。那么这就是今天我要介绍的简单方法??哈哈，当然不是，我要介绍的比这个还简单。
计算步骤如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分别为曲线与x轴、y轴、z轴的夹角
则I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
曲线积分简介：
设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的质量分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
定义：
设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
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