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Question

如图，已知直角梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°,AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做匀速运动。过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC与点N。P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动。设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
一定要详细解答

Answer 1

1) 首先过D做一条垂线DE垂直与BC于E，则有AD=BE=3，EC=1，又因为速度为1，时间问t,所以DQ=BP=t，又因为QN垂直于BC，所以QD=NE=t，所以NC=NE+EC=t+1

因为，∠ABC=90°，QN垂直于BC，所以AC=5，且△ABC相似于△MNC，所以MC/AC=NC/BC，所以MC=NC*AC/BC=5（t+1）/4

2) 四边形PCDQ构成平行四边形,则只需要DQ=PC=BC-BP（平行且相等），即t=4-t，所以t=2

3) 由△ABC相似于△MNC可以得到MN/AB= NC/BC，所以MN=3（t+1）/4，而在Rt △PMN中，MN2 +PN2=PM2，这时，只要求出PN就可以求出PM，而PN和P点的位置有关，在N点左边时，PN=3-2t，右边时PN=2t-3，但是由于我们需要的是PN的平方，所以不用分类讨论。这时候得出PM2，△PMC为等腰三角形有三种情况，1）PM=MC  2）MC=PC   3）PM=PC，由上面可以求得MC=5（t+1）/4，PC=4-t和PM2，带入上面三个条件即可

注意：MN2 +PN2=PM2表示平方

第一次回答几何题，太累了写得，不懂的继续追问哈，势必拿到此分

Answer 2

答案有些简陋，分类讨论都没有考虑。

1.DQ=t*1=t。AQ=3-t。所以BN=3-t，NC=4-（3-t）=t+1.
AQ//NC,<AMQ=<NMC,所以两个三角形相似，所以根据AQ/AM=NC/CM. AC=5.
MC=NC*AC/BC=5*（t+1）/4
2.若为平行四边形，因为DQ//PC，所以DQ=PC.. PC=4-t。t=2时
3.因为MN垂直与PC，若PMC为等腰三角形，则MN中垂线，所以PN=NC。NC=t+1，BP=t BN=AQ=3-t，NC=BC-BN=t+1。PN=BN-BP=3-2t=t+1。所以t=2/3

Answer 3

(1)
因为DQ=BP=t,
所以BN=AQ=AD-QD=3-t,
所以NC=BC-BN=4-(3-t)=t+1,
由于MN∥AB
所以CM/CA=CN/CB
而由△ABC勾股定理可知AC=5,
所以CM=CA*(CN/CB)=5*(t+1)/4
(2)
若四边形PCDQ构成平行四边形
则QD=PC
而PC=BC-BP=4-t
所以4-t=t
解得t=2
即t=2时四边形PCDQ构成平行四边形
(3)
在△PMC中，CM=5*(t+1)/4，PC=4-t
而PM^2=PN^2+MN^2
MN=AB*(CN/CB)=3*(t+1)/4
PN=BN-BP=3-2t
所以PM^2=(3-2t)^2+9/16*(t+1)^2
△PMC为等腰三角形，分情况讨论：
1、CM=CP
由前两问可得5*(t+1)/4=4-t
解得t=11/9
2、PM=PC
PM^2=PC^2
(3-2t)^2+9/16*(t+1)^2=(4-t)^2
解得t=103/57
3、PM=MC
PM^2=MC^2
(3-2t)^2+9/16*(t+1)^2=25/16*(t+1)^2
解得t=4或2/3
检验由于Q、P在线段AD、BC上运动所以t<3
所以t=4舍去
所以t=11/9，103/57，2/3时可使△PMC为等腰三角形。