柯西不等式6个基本公式推导

Question

如题所述

Answer 1

柯西不等式6个基本公式推导如下：

1. 向量的内积：向量 a 和 b 的内积可以表示为：

⟨a,b⟩=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣⋅cos(θ)

其中，θ 表示向量 a 和 b 之间的夹角。

2. 向量的范数：向量 a 的范数可以表示为：

∣∣a∣∣=√(⟨a,a⟩)

3. 平方范数：向量 a 的平方范数可以表示为：

∣∣a∣∣2=⟨a,a⟩

4. 向量的夹角余弦：两个向量 a 和 b 的夹角余弦。

5. 柯西不等式的基本形式：根据夹角余弦的公式，我们可以得到柯西不等式的基本形式：

∣∣⟨a,b⟩∣≤∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣

这个不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数之积。

6. 推导：现在，让我们来推导柯西不等式的基本形式。

首先，考虑一个实数 t，我们可以将向量 a 和 t * b 相加，并计算它的平方范数：

∣∣a−t∗b∣∣2

根据平方范数的定义，我们有：

∣∣a−t∗b∣∣2=⟨a−t∗b,a−t∗b⟩

利用内积的线性性质，可以将上式展开为：

⟨a−t∗b,a−t∗b⟩=⟨a,a⟩−2∗t∗⟨a,b⟩+t2∗⟨b,b⟩

接下来，考虑函数 f(t) = ||a - t * b||^2，我们可以看到它是 t 的二次函数。为了使 f(t) 取得最小值，我们可以求导并令导数等于零：

f′(t)=−2∗⟨a,b⟩+2∗t∗⟨b,b⟩=0

这个不等式在内积空间中具有广泛的应用，用于证明向量的正交性、向量之间的投影关系等等。它是线性代数中一个重要的基本结果。