这个问题不是一句两句说得清楚的。我只能根据我的亲身体验来谈谈。
首先，可以说需要一定天赋。我四岁起就开始学画画学到了高一（由于学业紧张，我也没想当艺术生，所以就放下了），所以对图形这方面一直都比较敏感，这从初中的平面几何到高中的自然地理部分，再到数学的立体几何中间就显示出来了。基本上一些简单的立体几何图形一眼就能看出端倪（有时候替补本身给的图形不标准或是不方便看，比如说你画的那个，就自己再画一个自己觉得方便自己看的）。
其次，要有自我归纳能力。我虽然立体几何可以做到基本不错，但是也不能保证一开始就速度很快，这就需要你归纳题型。你有错题集吗？要是有的话可以自己把以往错的题多翻一翻，再小结一下（当时我们老师是把这个当作业，硬性规定我们做的，但是做了之后确实感觉到有效果），比如说证明的题目，求长度、面积、体积的题目，确定位置的题目等，说来说去也就那么几种，把经常错的题型多做几遍，熟练之后会发现基本上解题步骤都是差不多的。
再者，要学会分解、合并图形。在很多时候，一个题目上的图是不方便画很多辅助线的，而且有时候直接在立体图形上画会发生变形，不容易看清一些相似、垂直之类的东西，所以你可以试着把立体图形中的平面图形取出来（单独画一个或者几个），你会发现不需要花什么时间，也方便理清思路。
然后，需要学会推理，特别是反推。就拿你出的那道题目来说，要求证AM垂直于BA1，你就要想到证线线垂直有些什么方法，有在一个平面内证明两条线成90°、线面垂直等，一般来说基本上是可以用线面垂直的，所以再推是AM垂直于BA1所在的平面还是BA1垂直于AM所在的平面，多画几种情况，看哪一种情况是没有已知条件可以推翻的，就试试那个（基本上就是那个了），要是实在找不到花辅助线就试其他的方法，如空间直角坐标系（这个我们老师讲都不讲，他说我们学会那一种就够了，不过我出于好奇，就自学了，最后做题发现正如老师所说，空间直角坐标系不适用于我们，一是写起来麻烦，算起来也麻烦，还要记不少公式，还不如这种直接法，可以边写边想，更节约时间）。
最后，需要提醒你答题规范在立体几何中也是很重要的。很多人在高考上失分不是因为没有做出来，而是因规范上出了问题，所以在平常做作业的时候就要规范自己的书写。虽然后来我训练到不用草稿纸只在大脑里就能把基本步骤想出来的程度，但是我做立体几何的题目时，依旧会把重要的步骤写出来，不偷懒，比如利用线面垂直证线线垂直的时候，千万不要忘掉那条线属于那个平面这一步。
我现在能想到的就这么多了，打的好累啊。
绝对原创的，再追加点悬赏分吧。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/214916348.html