在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的

Question

在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是

答案我已经知道了，但是怎么证明出来的不理解，具体的过程麻烦的话可以不写，主要是思路，用了什么方法，望高人指点，万分感谢

Answer 1

设三棱锥为O-ABC，AO⊥BO，AO⊥CO，BO⊥CO，
AO=a，BO=b，CO=c，在平面ABC内，过A作AD⊥BC，连接OD，
则OD是AD在平面OBC的射影，所以OD⊥BC，AO⊥OD。
在直角三角形AOD中，由勾股定理有：a^2+OD^2=AD^2，
在直角三角形BOC中，由勾股定理有：b^2+c^2=BC^2。
所以 1/4*BC^2*(a^2+OD^2)=1/4*BC^2*AD^2=(1/2*AD*BC)^2，
即 1/4*(b^2+c^2)*a^2+1/4*BC^2*OD^2=(1/2*AD*BC)^2，
(1/2*ab)^2+(1/2ac)^2+(1/2*OD*BC)^2=(1/2*AD*BC)^2，
即侧面OAB的面积，侧面OAC的面积，侧面OBC的面积之平方和
等于底面的面积的平方。

Answer 2

该题属应用拓展题，由已知的知识类比拓展到未知知识，得出结论即可，无需证明。三角函数的核心是投影，即某一线段（闭区域）长度（面积）在某一方向的投影长度（面积）,这是类比根据。三条侧棱设为a,b,c,则侧面的平方和为（a*b）^2+(b*c)^2+(c*a)^2,底面边长为（a^2+b^2)^1/2,(b^2+c^2)^1/2,(c^2+a^2)^1/2利用面积的海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2（p为周长的一半）求底面积，带入可求解。十分麻烦，这是我的答案。

Answer 3

顶点做底面投影试试!