在数学中，极限是一种概念，用于描述函数或数列中随着自变量趋于某个特定值时，因变量的趋势或接近性质。极限通常表示为 "lim"，后跟自变量趋于某个值的表达式。
极限的定义通常分为两个主要部分：一是 ε-δ 定义，适用于实数中的连续性和极限；二是 N-ε 定义，适用于数列中的极限。
ε-δ 定义（连续性的极限定义）：
对于一个实数函数 f(x)，当 x 趋于某个值 c 时，f(x) 的极限 L 表示为 lim(x→c) f(x) = L。
对于任何给定的正数 ε（ε > 0），存在一个正数 δ（δ > 0），使得当 0 < |x - c| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε。
这意味着当 x 足够接近 c 时，函数值 f(x) 会无限接近极限 L。
N-ε 定义（数列的极限定义）：
对于一个数列 {a_n}，当 n 趋于无穷大时，a_n 的极限 L 表示为 lim(n→∞) a_n = L。
对于任何给定的正数 ε（ε > 0），存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε。
这意味着当 n 趋近无穷大时，数列的项 a_n 会无限接近极限 L。
这两种定义形式的目的是明确极限的概念，即函数或数列在自变量趋于特定值或无穷大时，因变量或数列项的行为。极限的概念在微积分、实分析和数学分析等数学分支中发挥着关键作用，用于研究函数的连续性、导数、积分等重要性质。通过理解极限，我们可以更深入地理解数学和科学中的许多概念和现象。