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必修5知识点总结
1、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
2、正弦定理的变形公式:①,,;
②,,;③;
④.
(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边,求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)
如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
当a<bsinA,则B无解
当bsinA<a≤b,则B有两解
当a=bsinA或a>b时,B有一解
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:.
4、余弦定理:在中,有,,
.
5、余弦定理的推论:,,.
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状:设、、是的角、、的对边,则:①若,则;
②若,则;③若,则.
正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标A、B,
但不能到达,在岸边选取相距千米的C、D两点,
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,
∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an).
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an).
13、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an).
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15、数列的通项公式:表示数列的第项与序号之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示:。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法:
① ②2() ③(为常数
18、由三个数,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为与的等差中项.若,则称为与的等差中项.
19、若等差数列的首项是,公差是,则.
20、通项公式的变形:①;②;③;
④;⑤.
21、若是等差数列,且(、、、),则;若是等差数列,且(、、),则.
22、等差数列的前项和的公式:①;②.③
23、等差数列的前项和的性质:①若项数为,则,且,.
②若项数为,则,且,(其中,).
24、如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示:(注:①等比数列中不会出现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
① ②(,)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}()成等比数列.
25、在与中间插入一个数,使,,成等比数列,则称为与的等比中项.若,则称为与的等比中项.(注:由不能得出,,成等比,由,,)
26、若等比数列的首项是,公比是,则.
27、通项公式的变形:①;②;③;④.
28、若是等比数列,且(、、、),则;若是等比数列,且(、、),则.
29、等比数列的前项和的公式:①.②
30、对任意的数列{}的前项和与通项的关系:
[注]: ①(可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零,则是等差数列的充分条件;若不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
附:几种常见的数列的思想方法:
⑴等差数列的前项和为,在时,有最大值. 如何确定使取最大值时的值,有两种方法:
一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值.
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列
通项公式
对应函数
等差数列
(时为一次函数)
等比数列
(指数型函数)
数列
前n项和公式
对应函数
等差数列
(时为二次函数)
等比数列
(指数型函数)
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题:1、等差数列中,,则 .
分析:因为是等差数列,所以是关于n的一次函数,
一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,)三点共线,
所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如上),这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。
例题:2、等差数列中,,前n项和为,若,n为何值时最大?
分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为,即当时,最大。
例题:3递增数列,对任意正整数n,恒成立,求
分析:构造一次函数,由数列递增得到:对于一切恒成立,即恒成立,所以对一切恒成立,设,则只需求出的最大值即可,显然有最大值,所以的取值范围是:。
构造二次函数,看成函数,它的定义域是,因为是递增数列,即函数为递增函数,单调增区间为,抛物线对称轴,因为函数f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴在的左侧
也可以(如图),因为此时B点比A点高。于是,,得
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列{}中,有关Sn 的最值问题:(1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附:数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。
例题:已知数列{an}的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.
解:观察后发现:an=
∴
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列,是各项不为0的等比数列。
例题:已知数列{an}的通项公式为,求这个数列的前n项之和。
解:由题设得:
=
即
= ①
把①式两边同乘2后得
= ②
用①-②,即:
= ①
= ②
得
∴
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1): 1+2+3+...+n = 2) 1+3+5+...+(2n-1) = 3)
4) 5)
6)
31、;;.
32、不等式的性质: ①;②;③;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式.
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法(零点分段法)
求解不等式:
解法:①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来;
③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过),经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
例题:求不等式的解集。
解:将原不等式因式分解为:
由方程:解得
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图
由图可看出不等式的解集为:
例题:求解不等式的解集。
解:略
一元二次不等式的求解:
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为>0(或<0); ≥0(或≤0)的形式,
(2)转化为整式不等式(组)
例题:求解不等式:
解:略
例题:求不等式的解集。
3.含绝对值不等式的解法:
基本形式:
①型如:|x|<a (a>0) 的不等式 的解集为:
②型如:|x|>a (a>0) 的不等式 的解集为:
变型:
解得。其中-c<ax+b<c等价于不等式组 在解-c<ax+b<c得注意a的符号
型的不等式的解法可以由来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题:求解不等式
解:略
例题:求解不等式:
解:零点分类讨论法:
分别令
解得:
在数轴上,-3和2就把数轴分成了三部分,如右上图
①当时,(去绝对值符号)原不等式化为:
②当时,(去绝对值符号)原不等式化为:
③当时,(去绝对值符号)原不等式化为:
由①②③得原不等式的解集为:(注:是把①②③的解集并在一起)
函数图像法:
令
则有:
在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图
由图像可知原不等式的解集为:
4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:
设ax2+bx+c=0的两根为,f(x)=ax2+bx+c,那么:
①若两根都大于0,即,则有
②若两根都小于0,即,则有
③若两根有一根小于0一根大于0,即,则有
④若两根在两实数m,n之间,即,
则有
⑤若两个根在三个实数之间,即,
则有
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如:若方程有两个正实数根,求的取值范围。
解:由①型得
所以方程有两个正实数根时,。
又如:方程的一根大于1,另一根小于1,求的范围。
解:因为有两个不同的根,所以由
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对,所有这样的有序数对构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线.
(一)由B确定:
①若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域.
②若,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则所表示的区域为直线l: 的右边部分。
②若是“<”号,则所表示的区域为直线l: 的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测:由上面(一)(二)来确定
③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
例题:画出不等式组所表示的平面区域。
解:略
40、线性约束条件:由,的不等式(或方程)组成的不等式组,是,的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量,的解析式.
线性目标函数:目标函数为,的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
42、均值不等式定理: 若,,则,即.
43、常用的基本不等式:①;②;③;
④.
44、极值定理:设、都为正数,则有:
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.
例题:已知,求函数的最大值。
解:∵,∴
由原式可以化为:
当,即时取到“=”号
也就是说当时有
额。。。txt粘贴少了图像,算了直接截图-_-|||