设向量组B：b1,b2,b3,...,br能由向量组A：a1,a1,...,as线性表示为 （ b1,b2,...,br)=(a1,a2,...,as)K, 其

Question

其中K为S*r矩阵，且向量组A线性无关。证明向量组B线性无关的充分必要条件是：R(k)=r

Answer 1

设K＝（kij）
b1＝k11a1+k21a2+……+ks1
b2＝k12a1+k22a2+……+ks2
…………………………………
br＝k1ra1+k2ra2+……+ksr
假如B线性相关，有不全为零的t1,t2,……tr
t1b1+t2b2+……+trbr＝0
（t1k11+t2k12+……+trkir）a1+（t1k21+t2k22+……+trk2r）a2+……+（t1ks1+t2ks2+……+trksr）as＝0,向量组A线性无关,
t1k11+t2k12+……+trkir＝0
t1k21+t2k22+……+trk2r＝0
………………………………
t1ks1+t2ks2+……+trksr＝0
从而K的r个列线性相关，R(k)＜r，也就是说。如果R(k)=r，则只能向量组B线性无关。
R(k)=r是向量组B线性无关的充分条件。
反之假如R(k)＜r，K的r个列线性相关，有不全为零的t1,t2,……tr。使得
t1k11+t2k12+……+trkir＝0
t1k21+t2k22+……+trk2r＝0
………………………………
t1ks1+t2ks2+……+trksr＝0成立。
从而
（t1k11+t2k12+……+trkir）a1+（t1k21+t2k22+……+trk2r）a2+……+（t1ks1+t2ks2+……+trksr）as＝0,成立[这里不必A线性无关]
即
t1b1+t2b2+……+trbr＝0
B线性相关。就是说，如果向量组B线性无关，则只能R(k)=r
R(k)=r是向量组B线性无关的必要条件。证毕。