方程可写为x^2-x-1=0,根据韦达定理，α+β=1，α*β=-1
另外，根据x^2=x+1，两边乘以x^n，有x^(n+2)=x^(n+1)+x^n
即α^(n+2)=α^(n+1)+α^n，β^(n+2)=β^(n+1)+β^n
n=1时，a1=1，满足
n=2时，a2=α+β=1，满足
n=3时，
(α^3-β^3)/(α-β)
=[(α^2+a)-(β^2+β)]/(α+β)
=(α^2-β^2)/(α+β)+(a-β)]/(α+β)
=a2+a1=a3
成立
由数学归纳法，n≥4时也成立
得证！
令x^2=x+1较大的解为α，则α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2，-1＜β/α＜0
lim an^(1/n)
=lim [(α^n-β^n)/(α-β)]^(1/n)
=lim α*{[1-(β/α)^n]/(α-β)}^(1/n)
=α
=(1+√5)/2
请点击输入图片描述
f(x)在[a，b]上有连续的二阶导数
又f(x)在[a，b]上有三个不同零点c1＜c2＜c3
根据中值定理，至少存在2个点有f'(ζ1)=f'(ζ2)=0，c1＜ζ1＜c2＜ζ2＜c3；那么也至少存在一个点f''(θ)=0，c1＜ζ1＜θ＜ζ2＜c3
方程在[a，b]上至少有一个实根，等价于至少存在一点，使得f(x)-2f'(x)+f''(x)=0成立
先写到这，回头再继续
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继续
分析式子，主要是为了构建适当的函数，使用中值定理可以快速得出结论
f(x)-2f'(x)+f''(x)=0 → f(x)-f'(x)-[f(x)-f'(x)]'=0
令g(x)=f(x)-f'(x)，则有g(x)-g'(x)=0 → g'(x)/g(x)-1=0 → ln[g(x)]+ln[e^(-x)]=0
找g(x)=f(x)-f'(x)的零点，f'(x)/f(x)-1=0 →ln[f(x)]+ln[e^(-x)]=0 → g(x)=e^(-x)*f(x)
至此，可以构建函数φ(x)=e^(-x)*f(x)；
φ'(x)=-e^(-x)*f(x)+e^(-x)*f'(x)=-e^(-x)*[f(x)-f'(x)]
φ''(x)=e^(-x)*[f(x)-f'(x)]-e^(-x)*[f'(x)-f''(x)]=e^(-x)[f(x)-2f'(x)+f''(x)]
∵f(c1)=f(c2)=f(c3)=0
∴φ(c1)=φ(c1)=φ(c1)=0
存在θ1∈(c1，c2)和θ2∈(c2，c3)，使得φ'(θ1)=φ'(θ2)=0
那么存在一点η∈(θ1，θ2)，有φ'''(η)=0
即e^(-η)[f(η)-2f'(η)+f''(η)]=0，又e^(-η)＞0
那么f(η)-2f'(η)+f''(η)=0
完美！
我发了图的，在下面，应该能看到吧