求极限这题中汤家凤老师结论3中说的<2门道是什么

Question

视频里汤家凤老师说an≤2是有门道的，但是由于时间问题在这里不会讲，会在某一次直播课上讲，谁能告诉我这个门道是什么，或者告诉我是哪节直播课

Answer 1

单调有界准则。
假设极限为A，
则A＝根号下（2+A）
直接解出两个根。。
舍掉负根。。就是2.。。

Answer 2

用数学归纳法很容易证明an≤2追问

你看看我这个数学归纳法对不对

显然a1 = √2 < 2

假设当n = k时 ak < 2,则当n = k+1时 ak+1 = √(2 + ak) < √(2 + 2) = 2，即ak+1<2

由数学归纳法可知an<2

现在我的问题就是第一步这个a1 < 2这个2是怎么来的，如果我<3，<4？？。虽然这道题√2是1.414容易猜到是2，我想知道如果在复杂一点的情况下，是不是有所谓的门道让我可以不用去猜

追答

嗯嗯

另外我看还有个答案，那也是一种思路。虽然不太认可其中对专家的看法，但思路值得学习

Answer 3

我不知道汤老师的门道是什么，但是可用反证法证明这一结论，具体过程见下图：

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Answer 4

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