绝对收敛的证明

Question

如题所述

Answer 1

首先证明∑(sin nx)/n收敛，可用Dirichlet判别法，即∑sin nx部分和数列有界，而数列{1/n}单调递减趋于0；

其次，证明级数∑(sin nx)/n发散，由于|sin nx/n|≥sin² nx/n=1-cos 2nx/2n=1/2n=cos 2nx/2n，因为级数∑1/2n发散，级数∑cos 2nx/2n收敛，所以由比较原则，知道级数∑(sin nx)/n发散，即证级数∑(sin nx)/n条件收敛。

又因为|sin nx/n！|≤1/n！，而正项级数∑1/n！收敛，所以由比较原则，知级数∑|sin nx/n！|收敛，也即级数∑sin nx/n！绝对收敛。

扩展资料：

敛散性

1、全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2、局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。