怎样计算正态分布的密度函数

Question

如题所述

Answer 1

以下是四个问题的详细解题步骤：

(1) P(X<1)表示X小于1的概率，根据标准正态分布的累积分布函数，可以计算出P(X<1)≈0.8413。具体步骤如下：

- 标准正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)，其中π≈3.14159。
- 标准正态分布的累积分布函数为Φ(x) = ∫f(t)dt，积分下限为负无穷，上限为x。
- 因此，P(X<1) = Φ(1) = ∫f(t)dt在积分下限为负无穷，上限为1时的值。
- 由于标准正态分布的概率密度函数没有解析解，因此需要使用数值积分或查表等方法计算。一般来说，可以使用计算机或计算器进行计算，得到P(X<1)≈0.8413。

(2) P(X≥2.33)表示X大于等于2.33的概率，可以利用标准正态分布的对称性，将其转化为P(X≤-2.33)，然后用1减去这个概率即可，即P(X≥2.33)=1-P(X<2.33)=1-Φ(2.33)≈0.0107。具体步骤如下：

- 由于标准正态分布是对称的，即Φ(-x) = 1 - Φ(x)，因此P(X≥2.33) = P(X>2.33) = P(X<-2.33)。
- 将P(X≥2.33)转化为P(X≤-2.33)，则有P(X≥2.33) = 1 - P(X<2.33) = 1 - Φ(2.33)。
- 使用计算机或计算器进行计算，得到P(X≥2.33)≈0.0107。

(3) P(-1<X<2.5)表示X在-1和2.5之间的概率，可以计算出Φ(2.5)和Φ(-1)，然后将两者相减即可，即P(-1<X<2.5)=Φ(2.5)-Φ(-1)≈0.9192。具体步骤如下：

- 由于标准正态分布的累积分布函数是单调递增的，因此P(-1<X<2.5) = P(X<2.5) - P(X<-1)。
- 计算Φ(2.5)和Φ(-1)，即P(X<2.5)和P(X<-1)，可以使用计算机或查表等方法得到。
- 将Φ(2.5)和Φ(-1)代入公式P(-1<X<2.5)=Φ(2.5)-Φ(-1)进行计算，得到P(-1<X<2.5)≈0.9192。

(4) P(|X|<1.3)表示X的绝对值小于1.3的概率，可以转化为X在-1.3和1.3之间的概率，即P(|X|<1.3)=P(-1.3<X<1.3)=Φ(1.3)-Φ(-1.3)≈0.7967。具体步骤如下：

- P(|X|<1.3) = P(-1.3<X<1.3)，因为|X|<1.3等价于-1.3<X<1.3。
- 计算Φ(1.3)和Φ(-1.3)，即P(X<1.3)和P(X<-1.3)，可以使用计算机或查表等方法得到。
- 将Φ(1.3)和Φ(-1.3)代入公式P(-1.3<X<1.3)=Φ(1.3)-Φ(-1.3)进行计算，得到P(|X|<1.3)≈0.7967。