1+ x的极限为e吗?

Question

如题所述

Answer 1

(1+x)^(1/x)的极限为e。

这个问题涉及到极限的求解，可以用数学方法来证明。

首先，我们将(1+x)^(1/x)写成指数形式：e^(ln(1+x)/x)。

接下来，我们用极限的定义来求解这个极限：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x)

由于e^u的导数是e^u，所以我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。

首先求导：

d/dx ln(1+x) = 1/(1+x)

然后计算当x0时ln(1+x)的极限：

lim(x0) ln(1+x) = ln(1) = 0

接下来，计算当x0时(1+x)的极限：

lim(x0) (1+x) = 1

现在我们可以使用洛必达法则：

lim(x0) e^(ln(1+x)/x) = e^(0/1) = e^0 = 1

所以，(1+x)^(1/x)的极限为1。

然而，这里的计算结果是不准确的，因为我们使用了洛必达法则的一个前提条件：极限存在。在这个问题中，我们实际上不能直接使用洛必达法则，因为极限的形式为0/0，需要通过其他方法来求解。

通过数学的严格证明，我们可以得到(1+x)^(1/x)的极限为e。这是因为当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限确实趋近于e。