正弦信号的频谱如何表示？

Question

如题所述

Answer 1

正弦信号 c(t) = sin(wt) 的频谱可以通过傅里叶变换来求得。傅里叶变换将信号从时域转换到频域，可以得到信号在不同频率下的幅度和相位信息。
对于正弦信号 c(t) = sin(wt)，其中 w 是角频率，可以使用傅里叶变换公式：
C(f) = ∫[c(t) * exp(-2πift)] dt
其中，C(f) 是频率为 f 的信号在频域的复数表示，i 是虚数单位，* 表示复数的乘法，exp(-2πift) 是复指数函数。
将正弦信号 c(t) = sin(wt) 代入傅里叶变换公式，可以得到频谱 C(f)：
C(f) = ∫[sin(wt) * exp(-2πift)] dt
根据欧拉公式，可以将 sin(wt) 表示为复指数形式：
sin(wt) = (exp(iwt) - exp(-iwt)) / (2i)
将其代入上式，可以得到：
C(f) = (1/2i) * ∫[(exp(iwt) - exp(-iwt)) * exp(-2πift)] dt
化简上式，可以得到：
C(f) = (1/2i) * [∫exp(i(w-2πf)t) dt - ∫exp(-i(w+2πf)t) dt]
根据傅里叶变换的性质，可以得到频谱 C(f) 的表达式：
C(f) = (1/2i) * [δ(w-2πf) - δ(w+2πf)]
其中，δ(x) 是狄拉克δ函数，表示单位冲激函数。
根据上述表达式，正弦信号 c(t) = sin(wt) 的频谱 C(f) 在频率为 ±w/(2π) 处具有幅度为 1/2 的冲激响应。其他频率处的幅度为零。这表示正弦信号在频域上只有一个频率成分，且幅度为 1/2。