n^n的极限是什么？

Question

如题所述

Answer 1

n的根号n次方的极限是：n次根号下n的阶乘的极限是n趋于无穷大。

证明过程如下：

1、设a=n^(1/n)。所以a=e^(lnn/n)。lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。

2、而lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞“型，用洛必达法则，lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。

3、lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。

定义中ε的作用在于衡量数列通项：

与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性。

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。