两个平面垂直怎么证？

Question

如题所述

Answer 1

法向量，点面垂直公式是：如果a⊥b则a·b=0。

平面垂直，法向量也是相互垂直的，法向量的数量积等于0。设向量一的坐标是（a,b），向量二的坐标是（m,n），若二者垂直，则am+bn=0。设a、b为非零向量，a⊥b等价于a·b=0。

面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0。

面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l⊂α，则α⊥β”。例如：

定理1

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β＝l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。

求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α－l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ

∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β

∴OP⊥β

定理2

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α。

证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上。）

当A在α和β的交线外时，则B是垂足。

∵AB⊥β于B

∴B∈β

设α∩β＝MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α，连接AC。

∵AC⊂α

∴AC⊥BC

但AB⊥β，BC⊂β

∴AB⊥BC

即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。

当A在α和β的交线上时，A是垂足。

设α∩β＝MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β。

但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立，AB⊂α