过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行

Question

过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行,如何证明?

Answer 1

反证法，就这一种吧 目前其他的太麻烦。
假设有两个的话，A平面和B平面和C平面平行。此点设为P点，则在A有过P点的直线和C平行，在平面B 同样有过P点和C平行的直线
因为这两个直线都平行与C,且都过P点，所以过这两个直线的平面和C是平行的。所以A B 这个平面重合

Answer 2

已知：点A
平面a．
　　求证：过A有且只有一个平面b∥a．
　　证明：在平面a内任意作两条相交直线a和b，则由A
a知，A
a，A
b，点A和直线a可以确定一个平面M，点A和直线b可以确定平面N，在平面M、平面N内过A分别作直线a1∥a，b1∥b，故a1、b1是两条相交直线，可以确定一个平面b．
　　∵　a1
a，a
a　∴　a1∥a
　　同理，b1∥a
　　又a1
b，b1
b，a1∩b1＝A，∴　a∥b
　　故过点A有一个平面a∥b
　　假设过A点还有一个平面g∥a，则在平面a内作一条直线c，A
c，点A和直线c确定一个平面P，由公理2可知，平面b∩平面P＝m，平面g
∩平面P＝n，
　　∵　m∥c，n∥c，又A∈m，A∈n，
　　这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，所以过平面外一点与已知平面
平行．