已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，试求这个数列的公比和项数

Question

如题所述

Answer 1

项数为偶数，则其偶数项之和，除以其奇数项之和即为公比，
q=170/85=2
所以奇数项组成一个新的等比数列，公比为2*2,
所以，85＝1＋4＋16＋64
其偶数项组成一个新的等比数列，公比为2*2,
170＝2＋8＋32＋128
所以项数为8

或者

项数为2n，公比为q，奇数项公比为q^2,和S1=(1-q^2n)/(1-q^2)=85,偶数项公比为q^2，和S2=q*(1-q^2n)/(1-q^2)=170,s2/s1=q=2,所以公比q=2.
带入，得s1=(1-2^2n)/(1-2^2)=85,得2^2n=256，n=4，项数2n=8

Answer 2

设该数列的公比为q，项数为n
因为总项数是偶数，所以奇数项与偶数项各有n\2项
所有奇数项与偶数项也分别组成一个等比数列，其公比为q^2
所有奇数项的和S1=a1(1-q^(2*n\2))\1-q^2=a1（1-q^n）\1-q^2=85
所有偶数项的和S2=a2(1-q^(2*n\2))\1-q^2=a2（1-q^n）\1-q^2=170
因为a1=1,所以a2=q，联立上面两式就可得q=2
对整个数列用求和公式
a1（1-q^n）\1-q=85+170，求得n=8