奇函数除偶函数是奇函数，那么偶函数除奇函数是什么函数。

Question

如题所述

Answer 1

函数奇偶性简介：
奇偶性是函数的重要性质，是研究函数对称性的手段之一。奇偶性可从函数图像和解析式两个角度判断。函数图像关于原点对称的叫做奇函数；函数图像关于y轴对称的叫做偶函数。从解析式的角度判断，对于函数f(x)定义域内的任意x，必须使f(x)与f(-x)都有意义，也就是说，具有奇偶性的函数，它的定义域必须关于原点对称。在这个前提下：①如果f(x)与f(-x)相反，则称f(x)为奇函数；②如果f(x)与f(-x)相等，则称f(x)为偶函数。
两个具有奇偶性的函数g(x)与h(x)经过加、减、乘、除运算后得到的新函数奇偶性分析：

我们只需要按照加减乘除的法则经过简单的运算便可
，具体分析如下：
（1）g(x)与h(x)都是奇函数，那么g(-x)=-g(x)，h(-x)=-h(x)：

g(-x)+h(-x)=[-g(x)]+[-h(x)]=-[g(x)+h(x)]，所以g(x)+h(x)是奇函数；

g(-x)-h(-x)=[-g(x)]-[-h(x)]=-g(x)+h(x)=-[g(x)-h(x)]，所以g(x)-h(x)是奇函数；

g(-x)*h(-x)=[-g(x)]*[-h(x)]=g(x)*h(x)，所以g(x)*h(x)是偶函数；

g(-x)÷h(-x)=[-g(x)]÷[-h(x)]=g(x)÷h(x)，所以g(x)÷h(x)是偶函数；

（2）g(x)与h(x)都是偶函数，那么g(-x)=g(x)，h(-x)=h(x)：

g(-x)+h(-x)=g(x)+h(x)，所以g(x)+h(x)是偶函数；

g(-x)-
h(-x)=g(x)-h(x)，所以g(x)
-
h(x)是偶函数；

g(-x)*h(-x)=g(x)*h(x)，所以g(x)*h(x)是偶函数；

g(-x)÷h(-x)=g(x)÷h(x)，所以g(x)÷h(x)是偶函数；

（3）g(x)是奇函数，h(x)是偶函数，那么g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)：

g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)， g(-x)+h(-x)与g(x)+h(x)既不相等也不相反，

所以

g(x)+h(x)既不是奇函数也不是偶函数；

g(-x)-
h(-x)=-g(x)-h(x)，g(-x)-h(-x)与g(x)-h(x)既不相等也不相反，

所以

g(x)-h(x)既不是奇函数也不是偶函数；

g(-x)*h(-x)=[-g(x)]*h(x)=-[g(x)*h(x)]，所以g(x)*h(x)是奇函数；

g(-x)÷h(-x)=[-g(x)]÷h(x)=-[g(x)÷h(x)]，所以g(x)÷h(x)是奇函数；

h(-x)÷g(-x)=h(x)÷[-g(x)]=-[h(x)÷g(x)]，所以h(x)÷g(x)是奇函数；

综上所述，得如下结论：

（1）两个奇函数相加或相减，结果仍然是奇函数；两个奇函数相乘或相除结果是偶函数；

（2）两个偶函数无论相加，相减，相乘，相除，结果都仍然是偶函数；

（3）一个奇函数与一个偶函数相加或相减，结果既不是奇函数也不是偶函数；一个奇函数与一个偶函数相乘或相除，结果是奇函数；

上述（3）中的减法与除法，不论被减数与减数、被除数与除数的顺序。也就是说，奇函数减去偶函数与偶函数减去奇函数，所得结果都不再具有奇偶性；奇函数除以偶函数与偶函数除以奇函数，所得结果都仍然是奇函数。
注意问题：
一个函数如果是奇函数或者偶函数（我们也说这个函数具有奇偶性），那么对于定义域内的任意x而言，-x也必须在定义域内，这样才能保证f(x）与f(-x)都有意义。所以判断函数的奇偶性之前必须先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果函数的定义域不是关于原点对称的，那么它必然不具备奇偶性。
补充：
如果函数f(x)是奇函数，且f(0)存在，那么一定有f(0)=0.这一条性质也是我们解题中经常用到的。

Answer 2

设奇函数为f(x),满足f(-x)=-f(x),偶函数为g(x),满足g(-x)=g(x),那么
f(x)=f(x)-g(x)
f(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)
∴奇函数减偶函数为非奇非偶函数
g(x)=f1(x)-f2(x)
g(-x)=f1(-x)-f2(-x)=-f1(x)+f2(x)=-(f1(x)-f2(x))=-g(x)
∴奇函数减奇函数为奇函数
其实，这种题假如不是证明的话，找个例子看一下即可，如
f(x)=x
与g(x)=x^2分别为奇函数和偶函数，f(x)=x-x^2的图像很明显既不关于纵轴对称，也不关于原点对称，即为非奇非偶函数；同样也可以对其它的类似情形进行判断。