什么是奇偶函数

Question

如题所述

Answer 1

奇偶函数是指：

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x），有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

偶函数一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫做偶函数。偶函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。

偶函数的性质和特点：

1、奇函数的图象关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），并且图象关于原点对称。例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是奇函数，因为它们满足f（-x）=-f（x）的条件。

2、偶函数的图象关于y轴对称，即对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），并且图象关于y轴对称。例如，幂函数x^n（n为整数）是偶函数，因为它们满足f（-x）=f（x）的条件。

3、奇函数在对称区间上的积分为零，即如果在区间[-a, a]上，有f（-x）=-f（x），那么在这个区间上的积分∫[-a, a] f(x) dx一定等于零。这个性质在数学分析中非常重要，因为它可以用来证明一些重要的定理，例如微积分基本定理。

4、偶函数在对称区间上的值域相同，即如果在区间[-a, a]上，有f（-x）=f（x），那么在这个区间上的值域[-|f(a)|, |f(a)|]一定等于[|f(a)|, -|f(a)|]，其中|f(a)|表示函数f(x)在x=a处的函数值的绝对值。这个性质可以用来简化函数求值的过程。

5、如果一个奇函数的定义域中有0，则一定有f(0)=0。因此，如果一个奇函数的定义域中有0，则这个奇函数的函数图象一定过原点。