无穷小量与函数极限的关系

Question

如题所述

Answer 1

无穷小量与函数极限的关系如下：

一个有极限函数跟一个无极限函数的乘积有可能是有极限的。

实例1：

f1(x)=1/x^2,f2(x)=x;f(x)=f1(x)*f2(x)=1/x,

在x趋于无穷时，f1(x)极限为0，f2(x)无极限（也称之为极限为无穷），而f（x）极限为0.

分析：这一类实例中，f1为去穷小；f2无极限，是无穷型的，所以其倒数为无穷小；只要f1比f2的倒数更高阶，这个乘积就一定是无穷小。

实例2：

f1(x)=1/x^2,f2(x)=sin(x);f(x)=f1(x)*f2(x)=sin(x)/x^2,

在x趋于无穷时，f1(x)极限为0（即：f1(x)为无穷小），f2(x)无极限（震荡型，但是有界,|f2(x)|<=1），而根据定理“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”可知f（x）也为无穷小，因此极限为0.

分析：这一类实例中，f1为去穷小；f2无极限，是有界的，无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，因此乘积也为无穷小。

所谓极限是指：在自变量的某个极限变化过程中，函数无限趋向于某个常数A，这个常数称为这个函数在自变量的这个变化过程下的极限。

也就是说，极限是一个数。而无穷小是指：在自变量的某个变化过程中，若函数α以0为极限，这个函数称为自变量的这一变化过程中的一个无穷小(量)。可见，无穷小是一个函数。

性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。