在复平面内,任取一点Z,通过一条直线将其与一个特定点N相连,这条直线必然会在球面上相交于一个点P。值得注意的是,球面上除了点N之外的所有点都与复平面上的所有点形成一对一的对应关系,而点N象征着无穷远,通常表示为∞。这样的球面被称为复球面,它为复数的表示提供了一种新的视角。
除了平面内的复数表示,复球面引入了一种新的表示方式。这里引入了一个“虚拟”的数∞,它扩展了复数的域。在复平面的基础上,我们添加了一个“理想点”——无穷远点∞,它在复数的运算规则中扮演着特殊的角色。
为了明确这些规则,我们约定以下几点:如果a除以0,结果为∞;如果a除以无穷大,结果为0(这里假设a不等于无穷大);无穷大除以a,同样也是无穷大(同样假设a不等于无穷大)。乘法和加减运算中,a乘以或加减无穷大,结果同样为无穷大(同样假设a不为无穷大)。
请注意,除非特别说明,我们讨论的都是有限复平面。通过复球面的引入,复数的表示和运算规则得以进一步丰富和扩展。
复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。同时,复数还指在英语中与单数相对,两个及两个以上的可数名词。