在复平面内，任取一点Z，通过一条直线将其与一个特定点N相连，这条直线必然会在球面上相交于一个点P。值得注意的是，球面上除了点N之外的所有点都与复平面上的所有点形成一对一的对应关系，而点N象征着无穷远，通常表示为∞。这样的球面被称为复球面，它为复数的表示提供了一种新的视角。
除了平面内的复数表示，复球面引入了一种新的表示方式。这里引入了一个“虚拟”的数∞，它扩展了复数的域。在复平面的基础上，我们添加了一个“理想点”——无穷远点∞，它在复数的运算规则中扮演着特殊的角色。
为了明确这些规则，我们约定以下几点：如果a除以0，结果为∞；如果a除以无穷大，结果为0（这里假设a不等于无穷大）；无穷大除以a，同样也是无穷大（同样假设a不等于无穷大）。乘法和加减运算中，a乘以或加减无穷大，结果同样为无穷大（同样假设a不为无穷大）。
请注意，除非特别说明，我们讨论的都是有限复平面。通过复球面的引入，复数的表示和运算规则得以进一步丰富和扩展。
复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。同时，复数还指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。