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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学（理）
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数（）的最小正周期为，其中，则= ．
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．
3．若将复数表示为（，i是虚数单位）的形式，则 ．
4．设集合，则AZ 的元素的个数 ．
5．已知向量a和 b的夹角为120°，，，则 ．
6．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ．
7．某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号（i） 分组（睡眠时间） 组中值（Gi） 频数（人数） 频率（Fi）
1 [4，5] 4.5 6 0.12
2 [5，6] 5.5 10 0.20
3 [6，7] 6.5 20 0.40
4 [7，8] 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 。
8．设直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．
9．在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C (c，0) ，点P(0，p)在线段AO上的一点（异于端点），设a，b，c，p 均为非零实数，直线BP，CP 分别与边AC，AB 交于点E、F，某同学已正确求得OE的方程：，请你完成直线OF的方程：（ ）。
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3 个数为 ．
11．已知，满足，则的最小值是 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1（0）的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆M，若过点P 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为= ．
13．满足条件AB=2，AC=BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ．
14．设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0 成立，则实数= ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为．
（Ⅰ）求tan()的值；
（Ⅱ）求的值．
16．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：
（Ⅰ）直线EF‖平面ACD；
（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20 km，CB=10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
18．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．
19．（Ⅰ）设是各项均不为零的n（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，
①当n=4时，求的数值；②求的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
20．已知函数，（为常数），函数定义为：对每个给定的实数x，
（Ⅰ）求对所有实数x成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，满足，且∈,若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）．
附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点。
求证：ED2=EC·EB。
B．选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换下得到曲线F，求F的方程。
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值。
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c为正实数，求证：。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记。当∠APC为钝角时，求的取值范围。
23．请先阅读：在等式的两边对x求导。由求导法则得，化简后得等式。
（1）利用上述想法（或者其他方法），试由等式（，整数n≥2）
证明：。
（2）对于整数n≥3，求证：
（i）；（ii）；（iii）。
参考答案
1．10 2． 3．1 4．0 5．7 6． 7．6.42 8．ln2－1 9．
10． 11．3 12． 13． 14．4
15．解：由已知条件及三角函数的定义可知，，
因为,为锐角，所以=
因此
（Ⅰ）tan()=
（Ⅱ） ，所以
∵为锐角，∴，∴=
16．证明：（Ⅰ）∵ E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF‖AD，
∵EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF‖面ACD．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD，EF‖AD，∴ EF⊥BD。
∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD。
又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD．
17．解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则, 故，又OP＝10－10tan，所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。
18．解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0，
所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．
19．解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0
事实上，设这个数列中的连续三项a－d0，a，d+d0成等比数列，则a2=(d－d0)(a+d0)
由此得d0=0
（1）（i） 当n=4时, 由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3
①若删去，则由a1，a3，a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)，因d≠0，故由上式得a1=－4d，即=－4，此时数列为－4d，－3d，－2d，－d，满足题设。
②若删去a3，则由a1，a2，a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设。
综上可知，的值为－4或1。
（ii）若n≥6，则从满足题设的数列a1，a2，……，an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1，a2，……，an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5。
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时，若存在满足题设的数列a1，a2，a3，a4，a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1，a2，a4，a5成等比数列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)
分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d，故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。
综上可知，n只能为4。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1，b1+d′，……，b1+(n－1)d′(b1d′≠0)，其中三项b1+m1 d′，b1+m2d′，b1+m3d′成等比数列，这里0≤m1＜m2＜m3≤n－1，则有(b1+m2 d′)2=(b1+m1d′)(b1+m3d′)
化简得 (m1+m3－2m2)b1 d′=(－m1m3) d′2 (*)
由b1d′≠0知，m1+m3－2m2与－m1m3或同时为零，或均不为零。
若m1+m3－2m2=0且－m1m3=0，则有－m1m3=0，
即(m1－m3)2=0，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾。
因此，m1+m3－2m2与－m1m3都不为零，故由（*）得
因为m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数。
于是，对于任意的正整数n≥4，只要取为无理数，则相应的数列b1，b2，……，bn就是满足要求的数列，例如，取b1=1，d′=，那么，n项数列1，1+，1+2，……，满足要求。
20．（Ⅰ）恒成立
（*）
因为
所以，故只需（*）恒成立
综上所述，对所有实数成立的充要条件是：
（Ⅱ）1°如果，则的图像关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为
2°如果.
（1）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以即
当时，令，则，所以，
当时，，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
（2）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以
当时，令，则，所以，
当时， ，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
综上得在区间上的单调增区间的长度和为。
附加题
21．选做题
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：如图，因为AE是圆的切线，所以，∠ABC=∠CAE。
又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD。
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED。
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB。
而EA=ED，所以ED2=EC·EB。
B．选修4—2：矩阵与变换
解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵A对应的变换下变为点，则有
，即所以，又因为点P在椭圆上，故，
从而。所以，曲线F的方程为x2+y2=1。
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：因椭圆的参数方程为（为参数），故可设动点P的坐标为，其中。因此，。所以，当时，S取得最大值2。
D．选修4—5：不等式选讲
证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得
，即。
所以。而，
所以。
22．解：由题设知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标D—xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由得，所以
。
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于
，
这等价于，
即，得。
因此，的取值范围为。
23．证明：（1）在等式两边对x求导得
。
移项得。 （*）
（2）（i）在（*）式中，令x=－1，整理得。所以。
（ii）由（1）知，n≥3。
两边对x求导，得。
在上式中令x=－1，得
，
即，亦即。 ①
又由（i）知，。 ②
由①+②得 。
（iii）将等式两边在[0，1]上对x积分，
。
由微积分基本定理，得
，所以。
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