第1个回答 2022-07-01
一直以来我做题的时候,碰到收敛域与系统稳定性的题都是直接利用两个套路,如下图所示分别是拉普拉斯和z变换的套路
简单点来说,我们一直被教育,碰到拉普拉斯变换,假如这是个因果的系统(出题一般也都是出因果的系统),那么极点在s平面的左半平面,它就稳定。碰到z变换,它是因果的系统,极点在单位圆内,它就稳定。
我用这个套路解题一直到下面这个题时,我突然有了一些对于这个知识点深入一些的理解,它居然没有问你假如这个系统是稳定的,那么就要怎样怎样,它问你收敛域怎样,这个序列才是因果的。一场反套路大戏即将上演òᆺó
我们进行拉普拉斯变换和z变换是因为,一旦一个连续系统不绝对可积,离散系统不绝对可和,那么傅里叶变换就没有办法再将信号从时域转化到频域来进行分析,但是人类的智慧是无穷的(.öˬö.),你不收敛,好,对于连续的系统我乘一个单边指数衰减函数,对于离散的系统乘一个单边指数衰减序列,主动的让你收敛(๑•̀ㅁ•́ฅ),分别如下图所示
虽说,我可以让一个信号去衰减,但是事情远没有那么简单,请看下图。
可别忘了,我乘这两个东西,可是单边衰减的,也就是说对于因果的系统(输出不超前与输入,我的理解就是t或k小于零的那部分没什么值嘛,不过这一点有待商榷,望大神指出)它没有问题,因为t或k大于0的那部分乘上去确实是衰减的,起到了让信号收敛的作用。
可是碰到非因果的系统这就不行了啊,负半轴那边越来越大了
(╯‵□′)╯︵┴─┴
看来事情远没有那么简单,还让我慢慢道来。
终于到咱们的主角出场了,收敛域。
为什么要引入收敛域这个概念呢,其实很简单,请看下图
同样是乘以一个e的负4次方t,对于上面两个函数的最终效果是完全不同的,e的—4t可以让e的3t收敛,却不能让e的5t收敛。
怎么办・_・?规定一个范围呗!规定乘上的这个因子e的—st这个s必须大于5就都收敛了嘛,至于s取多少具体看函数的情况而定。这就是我们要引入收敛域的原因。
至于在离散系统那一边,同理的嘛,只不过z是个复数,我们就描述一下它的模值就好,以下是我的一个手稿,很乱o(´^`)o,不过关于离散信号为什么是与圆相关的已经写清楚了
好,非因果的系统是挺讨厌的,但是我们还是要想想办法,我们手里拥有的武器就是收敛域。以连续系统为例,如果信号在负半轴有值,那么我就不能任意的让s大下去,因为这样会导致信号在0之前的那部分不收敛,所以我要找到一个微妙的平衡,让0之前和之后的值都收敛,如下图所示
这也就是,为什么一个系统只有是因果的情况下才能用极点来判断的原因(在套路中描述过极点解题套路)
至于在离散的那一边,道理是一样的,只不过换成了单位圆。
我把这个题再搬出来,这个题问收敛域怎样的时候,它是因果的。先回忆回忆,z是什么
也就是说z越大,它就越能够让信号大于0的那部分收敛,而让小于0的那部分发散,既然本题是因果的,那么z就可以放肆地大下去,但是也有一个限制条件,这个题里具体就是1/2和2,那么它是大于1/2还是2呢,其实很简单,他要是只大于1/2不大于2的时候,怎么让2反变换出来的那部分收敛嘛!所以这个题选C
试题纵有很多,我没有能力覆盖到所有的试题,我想传达的就是一个概念,一种我个人的理解,纵然套路可以让你获取高分,但是道理和观念才是无坚不摧的地方^0^~