x趋向于a,求x^X-a^a/x-a的极限

Question

答案是a的a次方，求过程

Answer 1

相当于求f(x)=x^x在x=a时的导数
令y=f(x)
取对数lny=xlnx
求导
y'*(1/y)=lnx+1
y'=x^x(lnx+1)
所以原式值为
a^a(lna+1)追问

为什麽相当于求f(x)=x^x在x=a时的导数？还有，y'*(1/y)=lnx+1 这步怎么推到下一步？不懂

追答

导数的含义就是
x趋向于a时
[f(x)-f(a)]/(x-a) 的值 ------------------切线的斜率

由导数的定义,那个y'*(1/y)中的y是等于x^x的
移项过去就是
可能是有点不好理解,那就记住吧(我当时这里就是死记的)

追问

但答案是a的a次方啊。。。

追答

洛必达法则!
上下求导再求极根
下求导为1
上求导为x^x(lnx+1)-lna(a^x)
取x=a
约掉一项,答案为a^a

Answer 2

f(x)=x^x=exp(x*log(x))
求导:

(log(a)+1)*exp(a*log(a))