æ±ä¸æ²çº¿ï¼è¿æ²çº¿è¿ç¹ï¼0,1ï¼ï¼ä¸å®å¨ç¹ï¼xï¼yï¼å¤çå线æççäºx-y.
解ï¼ä¾é¢æædy/dx=x-y.................(1)
è¿æ¯ä¸ä¸ªçº¿æ§æ¹ç¨ã为äºè§£è¿ä¸ªæ¹ç¨ï¼å
èèæ¹ç¨ï¼
dy/dx+y=0....................................(2)
æ¹ç¨(2)å«å对åºäºåæ¹ç¨(1)çé½æ¤çº¿æ§æ¹ç¨ãå离åéåå¾ï¼
dy/y+dx=0ï¼ç§¯åä¹å¾lny=-x+lnC₁ï¼æ
y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x).
å
¶ä¸C₁为任æ常æ°ã为äºæ±è§£ï¼æ们ç¨åæ°åææ³ï¼æC₁æ¢æxçå½æ°uè令
y=ue^(-x).......................................(3)
äºæ¯dy/dx=(du/dx)e^(-x)-ue^(-x).....(3â²)
å°(3)å(3â²)代å
¥(1)ä¸ä»¥å®uï¼
(du/dx)e^(-x)-ue^(-x)=x-ue^(-x)
äºæ¯å¾(du/dx)e^(-x)=xï¼å离åéå¾ï¼du=xe^xdx
积åä¹å¾u=â«x(e^x)dx=â«xd(e^x)=xe^x-â«(e^x)dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C
代å
¥(3)å¼å³å¾y=[(x-1)e^x+C]e^(-x)=x-1+Ce^(-x)
å°åå§æ¡ä»¶x=0æ¶y=1代å
¥,å¾1=-1+Cï¼â´C=2ï¼äºæ¯å¾æ²çº¿æ¹ç¨ä¸ºï¼
y=x-1+2e^(-x).
ã对æ¤ç»æä½ä¸ªæ£éªï¼y=x-1+2e^(-x)ï¼e^(-x)=(y-x+1)/2ï¼ä¸x=0æ¶y=1ï¼
èdy/dx=1-2e^(-x)=1-2[(y-x+1)/2]=x-yï¼ç»æå®å
¨æ£ç¡®ï¼ã
追é®è½ä¸è½ä¸æ¶å微积åï¼ç¨2次æ¹ç¨è§£å³è¿ä¸ªé®é¢å¢
追ç满足é¢ç®è¦æ±çå½æ°æ¯y=x-1+2e^(-x)ï¼æ ¹æ¬ä¸æ¯äºæ¬¡å½æ°ï¼æä¹è½ç¨äºæ¬¡æ¹ç¨è§£å³å¢ï¼
è¿ç§é®é¢ï¼ç¨åçæ°å¦æ è½ä¸ºåï¼åªè½ç¨å¾®åæ¹ç¨æ±è§£ï¼èä¸è¿ä¸ªå¾®åæ¹ç¨è¿ä¸æ¯é£ä¹å¥½è§£çï¼