如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，A

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，求S△BCD．

Answer 1

∵AC与圆O相切，且D为切点，
∴OD⊥AC，
在直角三角形AOD中，AD=2，AE=1，
设OD=x，OA=AE+EO=1+x，
根据勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即（1+x）²=2²+x²，
解得：x=1.5，
∴OD=1.5，EB=3，AO=2.5，AB=AE+EB=1+3=4，
过点D作DF⊥AB，如图所示：

∴S_△ADO=

1

2

AD?DO=

1

2

AO?DF，
∴DF=

AD?DO

AO

=1.2，
∴S_△ADB=

1

2

AB?DF=2.4，
∵∠ABC=90°，
∴BC与圆O相切，又CD与圆O相切，
∴CB=CD，
在直角三角形ABC中，设CB=CD=y，
∴AC=AD+DC=2+y，AB=4，
根据勾股定理得：AC²=AB²+BC²，即（2+y）²=4²+y²，
解得：y=3，
∴CB=CD=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB?BC=6，
则S_△BCD=S_△ABC-S_△ADB=6-2.4=3.6．