10.2.1 数学模型
在承压含水层中打井抽水时，如果含水层在平面上是无限延伸的，侧向边界离井很远，抽水过程中边界不对抽水贡献；且含水层的顶底板均为隔水层，无垂向补给；天然水力坡度很小，径流影响也可忽略时，则认为井的抽水量不是来自外界补给，而是由含水层内部在水头降低的瞬间，地下水立即从含水层的储存中排出。将上述水文地质条件概括为［9］：
1）含水层为均质、等厚、产状水平承压含水层；
2）地下水天然水力坡度为0或近似为0；
3）单井远离边界，无垂向越流补给；
4）抽水流量为Q（t）；
5）地下水抽水时瞬时释放。
可以把上述承压水非稳定运动问题归纳为如下数学模型：
含水层参数识别方法
如果将上述问题转换为柱坐标系下的数学模型，则有：
含水层参数识别方法
10.2.2 模型的解
模型［5，9］（10-2）通过一系列的数学变换和推导，可以求出其解析解，具体表达如下：
含水层参数识别方法
其中W（u）为井函数，表达式为
含水层参数识别方法
在具体进行计算时，W（u）可用如下近似表达式：
含水层参数识别方法
其中：a0=-0.57721566，a1=0.99999193，a2=-0.24991055，a3=0.05519968，a4=-0.00976004，a5=0.00107857，b0=0.2677737343，b1=8.6347608925，b2=18.059016973，b3=8.5733287401，c0=3.9584969228，c1=21.0996530827，c2=25.6329561486，c3=9.5733223454。
含水层参数识别方法
将（10-3）式转换为降深表达式：
含水层参数识别方法
式（10-7）即为著名的泰斯（Thies）公式。
10.2.3 反演方法简介
用泰斯模型反演水文地质参数时［5］，最常用的方法有配线法、直线图解法、水位恢复法。另外一些有效的数值反演方法已经引入到泰斯模型的反演问题中，如Gauss-Newton法、数学规划法等，现简述如下：
（1）配线法
a.s-t配线法。将（10-7）式两端取对数，得：
含水层参数识别方法
将（10-6）进行适当的变换得：
含水层参数识别方法
将上式两端取对数，得：
含水层参数识别方法
从方程（10-8）和方程（10-9）可知lgs-lgt曲线的形状和曲线lgW（u）-lg（1/u）的形状是相同的，只是坐标进行了相对位移。如果在双对数纸上作出W（u）-1/u的关系曲线，在另一张模数相同的双对数纸上作出s-t关系曲线，两条曲线的形状是相同的。
一般情况下，W（u）-1/u的关系曲线称为标准曲线，s-t关系曲线称为实际资料曲线。把两条曲线保持坐标轴平行的情况下，尽可能地重合或逼近。选一点作为配合点（无论在曲线上或曲线外均可）。读出两张对数纸上的坐标（W（u），1/u），（s，t），将坐标代入（10-6）和（10-7）式，即可求出导水系数T和贮水系数S。
b.s-r配线法。当抽水试验有若干个观测孔时，可用s-r配线法。其原理和s-t配线法类似。只是将式（10-6）作如下变换：
含水层参数识别方法
将上式两端取对数，得：
含水层参数识别方法
在两张相同模数的双对数纸上，分别作出s-r2曲线和W（u）-u曲线，配线后找出配合点，即可求出导水系数T和贮水系数S。
c.s-（t，r）配线法。抽水试验时，如果记录有不同观测孔中不同时刻的水位降深值，可用此法求参数，此时：
含水层参数识别方法
可用S-r2/t关系曲线和W（u）-u关系曲线进行配线。其他同前。
（2）直线图解法
当u值比较小时，将井函数（10-4）的展开项仅取前两项，对精度的影响不大，此时：
含水层参数识别方法
（10-7）式可变为：
含水层参数识别方法
上式为Jacob近似公式。直线图解法主要是依据上述公式。
a.s-lgt直线图解法。在同一观测孔中不同时间进行降深观测时，可用此方法。
将（6-13）式变换后，可以写成：
含水层参数识别方法
上式为单对数纸上的直线方程。直线的斜率为0.183Q/T，根据直线斜率可求出导水系数T，在直线上任取一点的坐标（s0，t0）代入（10-14）式，因Q、T、r、s0、t0均为已知，可以很方便地求出贮水系数S。一般取t0为10的整数次幂，便于计算。
b.s-lgr直线图解法。在同一时间的不同观测孔进行观测。此时r为变量，（10-13）式可写成：
含水层参数识别方法
在单对数纸上作出s-lgr直线图，直线的斜率为-0.366Q/T，可以根据直线的斜率求出T，再在直线上任取一点的坐标（s0，r0）代入（10-15）式。因Q、T、t、s0、r0均为已知，可以很方便地求出贮水系数S。一般取r0为10的整数次幂，便于计算。
c.s-lg直线图解法。如果同时获得不同观测孔不同时间的观测数据，可用此方法。（6-13）式可写为
含水层参数识别方法
方法同上。
10.2.4 遗传反演方法
只要是正演问题有解的问题，其反演问题均能用遗传算法来求解。传统的简单遗传算法仅有选择、交叉、变异三种操作，陈国良、佘春峰等曾用马尔可夫链证明了在概率意义下并不能保证简单的遗传算法收敛到全局最优解。因此本文中对简单的遗传算法进行了三种改进，①优体克隆；②子体优生；③多代调环。这三种操作的作用各不相同，前面已有论述，本节通过算例说明几种操作的不同作用，及对寻优过程的影响。
泰斯模型的反演是一类较简单的反演问题，因为反演的参数为导水系数T和贮水系数S，一般是惟一确定的。只要有正演程序，把遗传算法相融合，就可以进行反问题的求解。因此这种方法不需要计算导数，使用简便，应用范围非常广。它与Gauss-Newton法及其类似的方法相比计算速度稍慢。由于其初值区间可以选择的范围很广，不会出现Gauss-Newton类方法由于初值选择不合适造成解不收敛的情况。它与常规的配线法和图解法相比，因采用计算机求解，计算速度很快，且解惟一确定并达到最优。避免了配线法和图解法因人而异且不易达到最优的缺点。
泰斯模型遗传反演的过程也就是求解如下优化问题的过程。
含水层参数识别方法
其中：E（）为误差函数，T为含水层导水系数，S为贮水系数，［Ta，Tb］为T的取值区间，[Sa，Sb]为 S 的取值区间，为时空某点的地下水降深观测值，si（T，S）为时空某点的地下水降深计算值，可用泰斯公式计算。
待求参数初值区间的确定，可以给出一个相当宽松的大区间，用改进后的遗传算法很容易搜索到参数的最优值。这个区间的给定只要物理意义上的合理即可，如导数系数T的初始区间可以是（0，1000），或（0，10000），贮水系数S的初值区间（0，0.1），只会影响搜索速度，不会影响最终的结果。
演化终止的条件为：①目标函数小于给定的精度。②演化到指定的次数。③连续100代目标函数无改变。均可。
在进行计算时我们对每一个例题，均按如下8种方案进行演化计算。
a.简单遗传算法（SGA）；
b.优体克隆遗传算法（The Best Chromosome Clone GA=BCC-GA）；
c.优体克隆+子体优生（Younger Generation Chromosomes Prepotency）的遗传算法（BCC-YGCP-GA）；
d.优体克隆+子体优生+多代调环（Multi-Generations Adjusting Environment=MAE）的遗传算法（BCC-YGCP-MGAE-GA）；
e.多代调环的遗传算法（MGAE-GA）；
f.优体克隆+多代调环的遗传算法（BCC-MGAE-GA）；
g.子体优生的遗传算法（YGCP-GA）；
h.子体优生+多代调环的遗传算法（YGCP-MGAE-GA）。
例1.理想模型。假设在一个含水层中进行抽水，这个含水层符合泰斯模型假定，在抽水开始后，在一个观测孔中进行水位观测，其观测结果如表6-1。抽水流量为：1000 m3/h，观测孔距抽水孔200 m，求含水层的导水系数T和贮水系数S。
表10-1 假设试验观测孔中降深资料表
在用遗传算法反演参数时，在所有方案中均采用：导数系数T的初始取值区间为（0，1000.0 m2/h），贮水系数S的初始取值区间为（0，0.1），遗传代数Num-Gen=1000，种群数Pop-Size=50，交叉概率Pc=0.7，变异概率Pm=0.3，评价函数中的alph=0.05。所有与多代调环有关的计算方案，其代数选择均为10。前500代每隔10代对T和S设置一次取值区间，取值区间设为（0.75Vbest，1.25Vbest），V为变量可代表T或S，Vbest为这十代中最优的染色体，500代后开始进行区间压缩技术，其压缩方法见前章所述，压缩系数为0.4。其计算结果见图10-1和表10-2。
此反演问题的真值为导水系数T=100 m2/h，贮水系数S=0.0005。用遗传算法反演的导水系数和贮水系数计算结果见表10-3和表10-4。
图10-1（1）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
图10-1（2）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
从计算结果可以看出，简单的遗传算法在达到1000代时，并没有明显的收敛特征，目标函数仍处于波动状态，其导水系数T和贮水系数S离真值相差较远。优体克隆遗传算法保证了后代无返祖现象，并且有收敛趋势，但收敛速度太慢，到1000代时两个参数距离真值尚有一定的差距。多代调环算法有明显的波动性，但收敛结果较好，压缩技术使用过早时，容易出现把真值抛弃的危险。何时开始实施压缩更好，尚待进一步研究。压缩太早，压缩因子太小均容易出现不收敛的情况，压缩太晚影响收敛速度。子体优生遗传算法收敛速度较好，但亦出现目标函数的波动即返祖现象。其他组合算法中以优体克隆+子体优生遗传算法和优体克隆+子体优生+多代调环遗传算法最好，它们均具有目标函数单调下降（随遗传代数），并且收敛速度非常快的优点。优体克隆+子体优生遗传算法在51代达到目标误差函数最小值0.000021（误差主要是系统误差引起），优体克隆+子体优生+多代调环遗传算法在68代达到目标误差函数的最小值0.000021。可见这两种组合遗传算法具有很好的性能，特别是优体克隆+子体优生遗传算法因不会出现抛弃全局最优解的可能性，收敛速度又很快，无返祖现象，许多次计算试验中此方法均表现出色，在实际应用中值得推广。
表10-2 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
表10-3 导水系数T反演结果表
表10-4 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
表10-5 抽水试验观1孔水位降深资料
因本模型为理想模型，反演求出的导水系数和贮水系数在目标误差函数为最小值0.000021 m时已和真值几乎相等，画出的s-t曲线完全重合。在此不再显示图形。
例2.在江苏省某村一口机井进行非稳定流抽水试验，抽水井位于广阔的第四纪冲积平原上，可以认为平面上是无限的。含水层为粉细砂和亚砂土。抽水井深120 m，直径0.20 m。自1976年11月6日9时40分开始做抽水试验，抽水持续97 h，流量为22.60 m3/h。在抽水井及三个观测孔中进行水位观测。观1孔距抽水井117.85 m，试根据观1孔资料计算贮水系数S和导水系数T［5］（表10-5）。
在用遗传算法反演参数时，在所有方案中均采用：导数系数T的初始取值区间为（0，1000.0 m2/h），贮水系数S的初始取值区间为（0，0.1），遗传代数Num-Gen=1000，种群数Pop-Size=50，交叉概率Pc=0.7，变异概率Pm=0.3，评价函数中的alph=0.05。所有与多代调环有关的计算方案，其代数选择均为10。前500代每隔10代对T和S设置一次取值区间，取值区间设为（0.75Vbest，1.25Vbest），V为变量可代表T或S，Vbest为这十代中最优的染色体，500代后开始进行区间压缩技术，其压缩方法见前章所述，压缩系数为0.4。其计算结果见图10-2和表10-6。
表10-6 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
图10-2（1）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
图10-2（2）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
此反演问题并无真值，最小的目标误差函数为0.017814，此时导水系数T=3.306231 m2/h，贮水系数S=0.001549。用遗传算法反演的导水系数和贮水系数计算结果见表10-7和表10-8。
从计算结果可以看出，简单的遗传算法在达到1000代时，并没有明显的收敛特征，目标函数仍处于波动状态，其导水系数T和贮水系数S离真值相差较远。其他的遗传算法均有较好的收敛效果，所有与子体优生相关的遗传算法在20代时就近似收敛到全局最优解，并在100代之前，使目标误差函数达到了全局最小值0.017814。优体克隆遗传算法保证了后代无返祖现象，并且有收敛趋势，收敛速度较慢，到1000代时目标误差函数尚未达到全局最小值0.017814。多代调环算法有明显的波动性，收敛结果较好。所有算法中以优体克隆+子体优生遗传算法最好，既无返祖现象，收敛速度又快，更不会出现抛弃全局最优解的现象。
表10-7 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
表10-8 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
因本模型为实际模型，已有不同的研究者反演求出的导水系数和贮水系数。其比较结果见表10-9。用优体克隆+子体优生遗传算法反演出的导水系数 T=3.306231 m2/h，贮水系数 S=0.001549曲线拟合图见图10-3。从比较结果看本文提出的优体克隆+子体优生遗传算法反演的参数效果最好。拟合绝对误差平均值最小。
图10-3 实测降深和计算降深结果对比图
表10-9 例2几种方法计算结果对比表
例3.一口水井以1907 m3/d的流量抽水，在抽水两个小时后从附近的几个观测孔中测量水位如表10-10，试求导水系数T和贮水系数S［5］。
表10-10 抽水试验资料表
本例题主要是已知降深s和距离r之间的关系来求参数T和S。和上例中相同，在用遗传算法反演参数时，在所有方案中均采用：导数系数T的初始取值区间为（0，1000.0 m2/h），贮水系数S的初始取值区间为（0，0.1），遗传代数Num-Gen=1000，种群数Pop
-Size=50，交叉概率Pc=0.7，变异概率Pm=0.3，评价函数中的alph=0.05。所有与多代调环有关的计算方案，其代数选择均为10。前500代每隔10代对T和S设置一次取值区间，取值区间设为（0.75Vbest，1.25Vbest），V为变量可代表T或S，Vbest为这十代中最优的染色体，500代后开始进行区间压缩技术，其压缩方法见前章所述，压缩系数为0.4。其计算结果见图10-4和表10-11。
图10-4（1）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
图10-4（2）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图
从计算结果可以看出，简单的遗传算法在达到1000代时，并没有明显的收敛特征，目标函数仍处于波动状态，其导水系数T和贮水系数S离真值相差较远。其他的遗传算法均有较好的收敛效果，所有与子体优生相关的遗传算法在30代时就近似收敛到全局最优解。在200代之前，使目标误差函数达到了全局最小值0.048724。优体克隆遗传算法保证了后代无返祖现象，并且有收敛趋势，但收敛速度较慢，到400代时目标误差函数基本达到全局最优值。多代调环算法有明显的波动性，但收敛结果较好。所有算法中以优体克隆+子体优生遗传算法最好，既无返祖现象，收敛速度又快，更不会出现抛弃全局最优解的现象。
表10-11 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表
优体克隆+子体优生遗传算法达到目标函数最小时，其导水系数T=241.650192 m2/d，贮水系数S=0.000484。其计算曲线与实测曲线拟合图见图10-5。用遗传算法反演的导水系数和贮水系数计算结果见表10-12和表10-13。
表10-12 导数系数T反演结果表（m2/d）
表10-13 贮水系数S反演结果表
图10-5 实测降深和计算降深结果对比图
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