水动力弥散方程遗传反演方法

Question

如题所述

Answer 1

10.3.1 数学模型

无论是实验室或野外的弥散试验，最常用的数学模型是一维流场中点源连续注入问题的水质模型^［66］。假设：

1）渗流区域为半无限沙槽，且地下水流动和示踪剂弥散可以简化为一维均匀稳定流和一维弥散；

2）流体是不可压缩的均质流体，温度不变，渗流区域的介质为均质且各向同性；

3）当t=0时，渗流区域中不存在示踪剂；

4）从t=0时刻开始在渗流区域上端连续注入含示踪剂浓度为C₀的流体；

5）除注入点，渗流区域不存在其他源和汇。

依据上述假定，取地下水流动方向为x轴的正向，取示踪剂注入点为坐标原点。任意点x处在时刻t时的示踪剂浓度C（x，t）满足如下数学模型。

含水层参数识别方法

方程中D为弥散系数，v为地下水流速。

10.3.2 模型的解析解

数学模型^［66］（10-17）可用Laplace变换求解，其解为：

含水层参数识别方法

若令 C_R=，则

含水层参数识别方法

其中：erfc（x）=1-erf（x）=exp（^-z²）d z，exp（x）=e^x。

10.3.3 反演方法简介

地下水水质模型^［66］最常用的反演方法为正态分布函数法和配线法，配线法和泰斯模型的方法有相似处，这里我们主要介绍正态分布函数法。

在式（10-19）中，当x很大时，右端第二项与第一项相比非常小，可以忽略。Φ.Μ.鲍契维尔已证明，当D/（vx）≤ 0.005时，忽略第二项后误差≤4%。因此，当x很大时，即离示踪剂注入点很远时，浓度的分布可近似表示为：

含水层参数识别方法

由于

含水层参数识别方法

其中，F（x）为一正态分布函数，期望值为μ=vt，均方差为。当 x 很大时，1-C_R服从于正态分布。已知标准正态分布函数Φ有如下性质：

Φ（1）=0.8413

Φ（-1）=0.1587

我们把浓度为0.8413的x坐标与浓度为0.1578的x坐标差定义为过渡带的宽度，则对于均方差为σ的正态分布函数来说，过渡带宽度e与均方差σ之间有如下关系

含水层参数识别方法

由于1-0.8413=0.1587，1-0.1587=0.8413。1-F（x）和F（x）所代表的过渡带的宽度是相等的，利用这个性质从C_R-x关系图上可以很容易地计算出过渡带的宽度为：

含水层参数识别方法

其中x_0.1587代表C_R=0.1587时所对应的x坐标，x_0.8413代表C_R=0.8413时所对应的x坐标。由方程（10-22）和σ=可以很方便地计算出弥散系数D 的值：

含水层参数识别方法

如果弥散试验给出的是C_R-t关系曲线图，上式可作适当的修改。

由（10-20）式可得：

含水层参数识别方法

当C_R=0.5时，如果弥散试验给出的是C_R-x关系曲线图有：

含水层参数识别方法

当C_R=0.5时，如果弥散试验给出的是C_R-t关系曲线图有：

含水层参数识别方法

用式（10-26）和式（10-27）可以很方便地计算地下水的流速。

其他的反演方法如配线法，Gauss-Newton法均可解水质反演问题。但是用正态分布函数法和配线法因为要查对坐标值，容易造成不同的人查出不同的坐标，引起人为误差。Gauss-Newton法因为要给定参数的初值，如果参数初值给的不合适，解不收敛。尤其对于地下水水质问题，对地下水流速特别敏感，而计算开始时并不知道速度的分布范围，极易造成解的发散情况。Gauss-Newton法因为要进行导数的操作，求导的过程很容易引起误差，使结果带有较大的误差。Gauss-Newton最大的优点是初值给的合适时，计算速度特别快。

10.3.4 遗传反演方法

遗传反演方法的特点是只要正演问题可以计算，反演问题就能进行计算。它是将生物遗传的特点引入到参数反演的过程中，通过一系列的正演计算达到反演的目的。

首先构造目标误差函数。

设区域有m个观测值，则构造误差函数为

含水层参数识别方法

其中：为实测值，C_i （p₁，p₂，…，p_n）为计算值。和C_i 具有相同的时间和空间坐标，p₁，p₂，…，p_n 为参数，为书写方便记 P=[p₁，p₂，…，p_n]。

模型选定之后，通过改变参数使误差函数达到最小值。那么本问题就转化为约束条件下的优化问题。

含水层参数识别方法

在地下水弥散参数计算中，有解析解的简单模型应用很广。将优化问题（6-29）和这些模型结合起来，方程（10-29）转化为：

含水层参数识别方法

其中：E（）为目标误差函数，v为地下水流速，D为弥散系数，［v^a，v^b］为v的取值区间，[D^a ，D^b ]为 D 的取值区间，为时空某点的地下水中某种溶质的浓度（或相对浓度）观测值，C_i （v，D）为时空某点的地下水中某种溶质浓度（或相对浓度）的计算值，可用解析解计算。

和地下水渗流的计算一样，我们也用如下8种不同的遗传算法进行反演计算试验。

a.简单遗传算法（SGA）；

b.优体克隆遗传算法（The Best Chromosome Clone GA=BCC-GA）；

c.优体克隆+子体优生（Younger Generation Chromosomes Prepotency）的遗传算法（BCC-YGCP-GA）；

d.优体克隆+子体优生+多代调环（Multi-Generations Adjusting Environment=MAE）的遗传算法（BCC-YGCP-MGAE-GA）；

e.多代调环的遗传算法（MGAE-GA）；

f.优体克隆+多代调环的遗传算法（BCC-MGAE-GA）；

g.子体优生的遗传算法（YGCP-GA）；

h.子体优生+多代调环的遗传算法（YGCP-MGAE-GA）。

试验的终止原则，由于要进行对比，我们选定进化代数为1000时终止计算。

例1.在水平密封的圆筒砂柱中做连续注入示踪示踪剂的试验，在距注入孔0.65 m的观测孔中获得浓度比值资料见表10-14，试求出地下水流速和弥散系数^［22］。

此问题的解析解为：

含水层参数识别方法

表10-14 相对浓度实测资料表

表10-15 不同的遗传反演方法目标误差函数计算结果比较表

本例题主要是已知相对浓度C_R和时间t之间的关系来求地下水流速v和弥散系数D。在用遗传算法反演参数时，在所有方案中均采用：地下水流速v的初始取值区间为（0，1000.0 m/h），弥散系数D的初始取值区间为（0，0.1），遗传代数Num-Gen=1000，种群数Pop-Size=50，交叉概率P_c=0.7，变异概率P_m=0.3，评价函数中的alph=0.05。所有与多代调环有关的计算方案，其代数选择均为10。前500代每隔10代对v和D设置一次取值区间，取值区间设为（0.75v_best，1.25v_best），v为变量可代表v或D，V_best为这十代中最优的染色体，500代后开始进行区间压缩技术，其压缩方法见前章所述，压缩系数为0.4。其计算结果见图10-6和表10-15。

图10-6（1）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图

图10-6（2）遗传反演方法进化代数与目标函数计算结果图

从计算结果可以看出，简单的遗传算法（1）、多代调环遗传算法（5）和优体克隆+多代调环遗传算法（6）在达到1000代时，并没有明显的收敛特征，目标函数仍处于波动状态，其地下水流速v和弥散系数D离真值相差较远。特别是第6种优体克隆+多代调环遗传算法因特殊的组合，一直没有改变目标误差函数，所有与多代调环有关的遗传算法其收敛速度均较慢，这主要是环境调整的不合适，使染色体失去了在全局生存的空间。如果调整环境的代数变为20，其收敛速度会有很大的改变。对于本问题第2种优体克隆遗传算法、第3种优体克隆+子体优生遗传算法和第7种子体优生遗传算法均快速收敛，达到40代时已基本收敛到全局最优解。

优体克隆+子体优生遗传算法达到目标函数最小时，其地下水流速v=33.677212 m/d，弥散系数D=0.053982 m²/d。其计算曲线与实测曲线拟合图见图10-7。用遗传算法反演的地下水流速和弥散系数计算结果见表10-16和表10-17。

图10-7 相对浓度计算曲线与实测曲线拟合图

表10-16 地下水流速v反演结果表

表10-17 弥散系数D反演结果表

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