方法一：内积空间里面可以诱导出夹角的定义，即u,v的夹角α定义为arc cos(<u,v>/(||u||||v||)),从而得到了|<v,w>|=||v|| ||w||当且仅当|cos α|=1即当且仅当v,w线性相关的。
方法二：内积空间中有正交，直和的定义。假设v张成的了V的一个一维子空间A，B表示它的正交补空间。根据线性性我这里不妨假设v,w都是单位向量，所以w有直和分解w=w1＋w2，其中w1属于A,w2属于B，由||v||||w||=1,<v,w>=<v,w1>+<v,w2>=<v,w1>得
|<v,w>|=||v|| ||w||当且仅当<v,w1>=1. 而w1=kv,||v||=1所以|k|=1即当且仅当w=±v.根据前面的线性性假设知对应过去就是当且仅当v,w线性相关的。
方法三：内积可以诱导一个度量，因此对应有三角不等式。假设<v,w>≥0,则有<v,w>=||v||||w||,
所以|v-w|^2=<v-w,v-w>=|v|^2+|w|^2-2<v,w>=(||v||-||w||)^2所以有|v-w|=|||v||-||w|||由三角不等式两边只差小于第三边得这个式子成立当且仅当这三个向量共线，即当且仅当v,w线性相关。对于<v,w><0的情况讨论类似，只不过变成了使用两边之和大于第三边而已。
方法四：<==)显然；对于==>我们可以假设w=kv+r目的想说明如果存在某个k使得r等于0，这样就说明了线性相关。反证法如果任意k都有r不等于0，则有<w-kv,w-kv>恒大于0，展开之后得k^2|v|^2-2|v||w|k+|w|^2>0这个关于k的二次方程大于0恒成立所以有判别式(2|v||w|)^2-4|v|^2|w|^2<0于已知条件矛盾。
方法五：于方法四平行，把w=kv+r代入得到判别式运用已知条件得知为0，从而这个方程有唯一的一个解k使得<w-kv,w-kv>=0,即w-kv=0所以w与v线性相关。
你说的投影法就是方法二中的直和分解得到的w1就是它w在v方向上的投影，因为v张成的是一维的子空间，所以在这个子空间的分量w1也就是在v方向上的投影。如果用投影算子来叙述可以这样写：
假设P为投影算子，则w=Pw+(1-P)w,所以<v,w>=<v,Pw>+<v,(1-P)w>，注意到Pv=v，P^2=P可得<v,(1-P)w>=<Pv,(1-P)w>=0.
而<v,Pw>=||v||||Pw||
由此可得<v,w>=||v||||w||当且仅当||Pw||=||w||即当且仅当v,w共线。