∫(0,2a)dx∫[0,(2ax-x^2)^(1/2)][(x^2+y^2)^(-1/2)]dy=?

Question

如题所述

Answer 1

令y=xtant，则dy=xsec^2tdt
原式=∫(0,2a)dx∫{0,arctan[√(2ax-x^2)/x]}sectdt
=∫(0,2a)dx*ln|sect+tant||{0,arctan[√(2ax-x^2)/x]}
=∫(0,2a)ln|√(2a/x)+√(2a/x-1)|dx
=∫(0,2a)ln|√(2a)+√(2a-x)|dx-∫(0,2a)ln|√x|dx
令√(2a-x)=u，则x=2a-u^2，dx=-2udu
原式=∫[0,√(2a)]ln|√(2a)+u|d(u^2)-(1/2)*(xlnx-x)|(0,2a)
=u^2*ln|√(2a)+u||[0,√(2a)]-∫[0,√(2a)]u^2/[√(2a)+u]du-[aln(2a)-a]
=a*ln(8a)-∫[0,√(2a)]{u-√(2a)+2a/[√(2a)+u]}du-aln(2a)+a
=a(ln4+1)-[u^2/2-√(2a)u+2aln|√(2a)+u|]|[0,√(2a)]
=a(ln4+1)+aln(2a)-aln(8a)+a
=2a