常用的裂项公式有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

1. 公式一：1/[n(n+1)]可以改写为(1/n) - (1/(n+1))。
2. 公式二：1/[(2n-1)(2n+1)]可以改写为1/2[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]。
3. 公式三：1/[n(n+1)(n+2)]可以改写为1/2{1/[n(n+1)] - 1/[(n+1)(n+2)]}。
4. 公式四：1/(√a + √b)可以改写为[1/(a - b)](√a - √b)。
5. 公式五：n·n!可以改写为(n+1)! - n!。
6. 公式六：1/[n(n+k)]可以改写为1/k[1/n - 1/(n+k)]。
7. 公式七：1/[√n + √(n+1)]可以改写为√(n+1) - √n。
8. 公式八：1/[√n + √n + k]可以改写为(1/k)·[√(n+k) - √n]。
裂项法的核心在于将数列中的每一项分解并重新组合，以便消去一些项，最终达到求和的目的。这通常涉及到数列的邻项变号法，以及对于等差数列中Sn的最大值和最小值的求解。此外，还需要研究数列的通项是否为正，以及函数的增减性，来确定数列的最大和最小项。