已知，抛物线y=-x 2 +bx+c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负．（1）求抛物线的解析式．（

Question

已知，抛物线y=-x 2 +bx+c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负．（1）求抛物线的解析式．（2）若直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（ 3 2 ，m）和B（4，n），求直线的解析式．（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G．①求t的取值范围②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交点为（1，0）和（5，0）， ∴ -1+b+c=0 -25+5b+c=0 ， 解得 b=6 c=-5 ． ∴抛物线的解析式为y=-x 2 +6x-5； （2）∵y=-x 2 +6x-5的图象过A（ 3 2 ，m）和B（4，n）两点， ∴m= 7 4 ，n=3，∴A（ 3 2 ， 7 4 ）和B（4，3）， ∵直线y=kx+b（k≠0）过A（ 3 2 ， 7 4 ）和B（4，3）两点 ∴ 3 2 k+b= 7 4 4k+b=3 ， 解得 k= 1 2 b=1 ． ∴直线的解析式为y= 1 2 x+1； （3）①根据题意 t＞ 3 2 t+2＜4 ， 解得 3 2 ≤t≤2， ②根据题意E（t， 1 2 t+1），F（t+2， 1 2 t+2） H（t，-t 2 +6t-5），G（t+2，-t 2 +2t+3）， ∴EH=-t 2 + 11 2 t-6，FG═-t 2 + 3 2 t+1， 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即-t 2 + 11 2 t-6=-t 2 + 3 2 t+1， 解得：t= 7 4 ， ∵t= 7 4 满足 3 2 ≤t≤2． ∴存在适当的t值，且t= 7 4 使得EFGH是平行四边形．