根号下4-x^2的定积分是x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C。
解：∫√(4-x^2)dx
=∫√(2^2-x^2)dx
那么令x=2sint，则
∫√(4-x^2)dx =∫√(2^2-x^2)dx
=∫(2cost)d(2sint)
=4∫cost*costdt
=4∫(cos2t+1)/2dt
=2∫cos2tdt+2∫1dt
=sin2t+2t+C
=2sintcost+2t+C
又x=2sint，则sint=x/2，cost=√(4-x^2)/2，t=arcsin(x/2)
所以∫√(4-x^2)dx =2sintcost+2t+C
=x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C
扩展资料：
1、基本三角函数之间的关系
(sinx)^2+(cosx)^2=1、cos2x=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2、(cosx)^2=(cos2x+1)/2、
(sinx)^2=(1-cos2x)/2、sin2x=2sinxcosx
2、不定积分的换元法
（1）凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
（2）通过根式代换法或者三角代换法进行求解
例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C
例：∫√(1-x^2)dx，通过令x=sint可得，∫costdsint=∫(cost)^2dt=∫(1/2+cos2t/2)dt
=1/2t+1/4sin2t+C=1/2t+1/2sintcost+C
把sint=x，cost=√(1-x^2)即t=arcsinx代入得
∫√(1-x^2)dx=1/2arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C
3、常用积分公式
∫1dx=x+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫sec²xdx=tanx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
1、由于本题没有积分上下限，只能当成是不定积分解答；
2、积分的方法有两种：
A、运用分部积分法；
B、变量代换法。
3、这两种方法的具体解答过程如下，若看不清楚，请点击放大：
