四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD

Question

四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．

Answer 1

证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC，
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE
∴2AE=AB+AD

Answer 2

证明:过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD
∴CE=CF,AE=AF(角平分线性质),
∠BEC=∠DFC=90
∵∠ADC+∠CDF=180,
∠ADC+∠B=180
∴∠CDF=∠B
∴△BCE≌△DCF
(AAS)
∴BE=DF
∵AE=AB-BE,AF=AD+DF
∴AE+AF=AB-BE+AD+DF=AB+AD
∴2AE=AB+AD