达布中值定理的达布中值定理的证明

Question

如题所述

Answer 1

方法1：已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数g(x)=f(x)-ηx，若g(a)=g(b)则由罗尔中值定理，存在ε∈（a,b）使g'(ε)=0。否则不妨设g(a)>g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)，由介值定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。证毕
方法2：构造函数g(x)=f(x)-ηx，由于f(x)在(a,b)区间内可导，所以f(x)在(a,b)区间内连续，由此得出g(x)在(a,b)区间内连续。补充定义使得g(x)在x=a，x=b处连续，因为g'(a)=f'(a)-η<0,所以一定存在x>a,使得g(x)<g(a),即x=a不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，故g(x)在(a，b)区间内取得最小值，所以必然存在ξ∈（a,b），使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），所以对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.证毕
　　
（其推广的证明提示：令G(x)=f(x)-ηg(x)）