简单的单词一般用假名。
比如：いい（良い）、よい（良い）、あまり（余り）、ある（或る）和まだ（未だ）等。说是一般，所以你写汉字也没有问题！
极其复杂的汉字。
说极其复杂是相对于日本人的，毕竟汉字还是我们自己的，认字就学这，在学习过程中我们会自然将复杂的字分解，慢慢地一般的字都比较容易写，但日本人不是，一些在我们眼里不是很难很复杂的汉字，在他们看来不是就懒得写，自然用假名代替了，然后变得人人都写那个假名咯（虽然明知道有对应的汉字）。要说明的是，他们自己不写是嫌麻烦和复杂，但是打字什么的（例如字幕、信件、标牌之类）通常还是用对应的汉字，特别是常用字词。比如：やさしい（优【这个死活显不出日式汉字，因为是繁体字】しい）、ごぶさた（ご无沙汰/御无沙汰）、さわがしい（騒がしい）和ごちそう（ご驰走/御驰走）等。
日本部分人名。
因为日语又分音读和训读（无语），很多情况下一个汉字对应1个以上的假名甚至N个假名（我觉得是有点像我们的多音字吧），甚至意思、单词组合和变形等都会不同。那么问题就来了，日本人的名字本来是汉字来着，可是因为刚刚说的，经常让人不知道应该怎么读那个名字（日本人自己就是这样）。你知道，和人见面，特别是别人给你名片的时候，你对着卡片发呆不叫别人名字很无礼。所以，为了解决这个，日本人会在名片或字幕上的汉字名字上对应标个小字体的假名。再到后来更干脆，如今不少日本人都将自己的汉字直接改为假名，就不用担心不会读了也很方便（喜欢与否见仁见智）。这也不是规定要用假名，不过人家都那么贴心方便你了，难道你还要显摆用汉字，而且有的真的是假名，没有汉字对应的。例如：高桥みなみ（高桥南）、宇多田ヒカル（宇多田光）等
好吧，我还有些问题，这个上面不好说，把你qq给我可以吗？
追答最新补充（2016年伊始的），听日语阅读老师说，韩国人之前的人名也是音读，一般音读用的是平假名，后忘了因为什么，韩国政府成功让日本在人名上统一变成模仿韩语发音，随即也变成片假名（估计是当外文了）。而且其实我们的人名也有两读音，一种就是前面提的音读（音读时一定是写汉字），还有一种就是模仿读音（我不知道这叫什么，应该跟外文一样，比如英语的rule，模仿读音为ルール，还有Christmas）。因为表达能力实在拙、弱，举例子吧。比如：姓张，音读是ちょう，模仿读音是ザン；姓王，音读为おう，模仿读音为ワン。不过，绝大多数都是采取音读的。
说起音读和模仿音，其实我们中文也是外文（废话），只不过我们的汉字有重叠的地方，让人觉得我们是互通的，其实在用音读时也是日本人的东西，所以当涉及到我们不重叠的地方就用到片假名（因为我们本就相对他们来说是外文）。
还有的是，我们很多汉字日本是没有，一般这种情况会用片假名，可能也当做外文了。如果不用片假名，多数不会写或是乱码再抑或是空白。如果手写，肯定是可以模仿写出来，但意味不明。
我自己看了下相关问题的其他答案，说政府有规定哪些、啥时候用假名和汉字（通篇汉字如无特别说明，就是指日本化的汉字即日式汉字），我觉得除了约定俗成和严格区分的平片假名使用情况，一般汉字和假名转换的随性较大，特别是对当下日年轻人来说，他们甚至连敬语也乱用或不会用。（当然，我前面列举的使用汉字和假名的情况还是成立的，随性也会有个下限）
＊需注意的是，你的问题说的假名还要分平和片来说，因为平片假名也有互换情况。哎啊！越说越复杂了。
继续补充凌晨的：
2· 大多引用我们的东西时就用汉字
什么叫引用我们的东西呢（文笔不好说得比较粗俗）？例如成语、诗歌、诗词和谚语等等的，本来就是我们的东西，当然用汉字（不全是），部分可能引用的时候有点变化和差异。比如：出人头地（中）→立身出世（日）、一日三秋（中）→一日千秋（日）、内忧外患（同）、《春望》（杜甫）和《忆江南》（白居易）等。
就想到这么多了，望采纳~拖着问题不处理很缺德，不管你采纳本人与否。不过貌似只有我一个回答。
不全是老师讲的，有的是自己了解和总结的，完全原创，可能不百分百正确。
话说网上这样的问题不是大把吗，为什么还要自己提问？
※结果万恶的提问者还是不及时处理问题。我完美主义+帮其他人了解，还是不断地补充了