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为什么任何非奇异矩阵都能经过初等行变换转化成单位矩阵
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第1个回答 2022-06-28
因为非奇异矩阵A与
单位矩阵
E等价
所以存在
可逆矩阵
P,Q使得PAQ=E
等式两边右乘Q^-1得 PA=EQ^-1=Q^-1
上式两边左乘Q 得 QPA=E
而P,Q可逆,故QP可逆
可逆矩阵可表示为
初等矩阵
的乘积
所以,QPA=E 相当于A经初等行变换化为单位矩阵E.
注:同理,任何非奇异矩阵都能经过初等列变换转化成单位矩阵
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为什么任何非奇异矩阵都能经过初等行变换转化成单位矩阵
答:
因为非奇异矩阵A与单位矩阵E等价 所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=E 等式两边右乘Q^-1得 PA=EQ^-1=Q^-1 上式两边左乘Q 得 QPA=E 而P,Q可逆,故QP可逆 可逆矩阵可表示为
初等矩阵
的乘积 所以, QPA=E 相当于A经
初等行变换
化为单位矩阵E.注: 同理,
任何非奇异矩阵都能经过初等
列
变换转化成单位
...
如何用
初等变换
化为
单位
阵?
答:
(1)逆矩阵的唯一性。若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的,并记作A的逆矩阵为A-1。(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或
非奇异矩阵
。(3)任何一个满秩
矩阵都能
通过有限次
初等行变换
化为
单位矩阵
。推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成...
矩阵
等价矩阵
答:
初等矩阵总是可逆的,它们的乘积永远是非奇异矩阵,这意味着等价矩阵的秩数保持不变
。通过一系列初等变换,任何秩为r的矩阵的左上角可以转换为r阶单位矩阵,其余位置变为0。所有n阶非奇异矩阵都等价于n阶单位矩阵,可以用多个初等矩阵的乘积表示。如果A≌B,那么存在非奇异矩阵P和Q,使得PAQ=B。在多...
两个
非奇异矩阵
相乘
答:
不对,
初等矩阵都是可逆矩阵,而可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵,一定是非奇异矩阵
。因为任意一个可逆矩阵都可以表示成若干个初等矩阵相乘,这是可逆的充要条件。所以,乘积一定是可逆矩阵,但不一定是初等矩阵。非奇异矩阵等于若干个初等矩阵的乘积。非奇异矩阵,一定可以通过若干步的初等行变换,变成单位阵。
可逆
矩阵
性质推导与高等数学中的内容有何关联?
答:
可逆矩阵是指一个
非奇异矩阵
,即其行列式不为0。这个定义可以通过矩阵的行变换或列变换来证明。在矩阵运算中,我们经常需要将一个矩阵通过
初等行变换
或初等列
变换转化
为更简单的形式,这就需要用到可逆矩阵的性质。例如,我们可以通过对一个矩阵进行行变换,将其转化为
单位矩阵
,这个过程就是求原矩阵的逆...
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