伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式的关系

Question

如题所述

Answer 1

伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式的关系如下：

1、行列式的乘积关系：det(adj(A)) = det(A)^(n-1)
这意味着伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的(n-1)次幂，其中n为矩阵的阶数。

2、逆矩阵的表示：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)
这个关系式表明，原矩阵的逆矩阵可以通过伴随矩阵除以原矩阵的行列式来得到。

3、对于关系式1，我们来考虑一个可逆矩阵A和其伴随矩阵adj(A)。根据伴随矩阵的定义，我们知道adj(A)的每个元素都是原矩阵A的代数余子式，记作C_{ij}。那么我们可以构建一个新的矩阵B，其中B的第i行第j列元素等于C_{ij}。可以证明，B的转置矩阵即为adj(A)。

4、由于C_{ij}是A的代数余子式，通过行列式的性质，我们知道它们满足以下关系式：C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ji}，其中M_{ji}表示A的子矩阵A_{ji}的行列式。因此，B的第i行第j列元素等于(-1)^(i+j) * M_{ji}，即B的行列式等于adj(A)的行列式。而根据原矩阵的行列式的定义，我们知道det(A)等于A的所有行列式代数余子式的和。