定积分的计算结果为什么可正可负

Question

如题所述

Answer 1

定积分的计算与用定积分计算面积所用的方法都不同。
只是计算定积分数值的话，就是x轴上面的面积 - x轴下面的面积
结果可正可负。
如果用定积分求面积的话，结果一定是正数
y = ƒ(x)，x∈[a，c]，若有b∈[a，c]使得
当x∈[a，b]时，ƒ(x) < 0
当x∈[b，c]时，ƒ(x) > 0
则y = ƒ(x)在x∈[a，c]里包围的面积A
= ∫(a→c) |ƒ(x)| dx，注意有绝对号
= ∫(a→b) [- ƒ(x)] dx + ∫(b→c) ƒ(x) dx
= - ∫(a→b) ƒ(x) dx + ∫(b→c) ƒ(x) dx
绝对号能使得在x轴下面的面积变为正数
所以在求面积时，凡是在指定积分区间中若被积函数小于0，则要加上负号，使其结果变为正数。
不然的话，正负面积会抵消掉。