逆矩阵的乘积还是逆矩阵吗？

Question

如题所述

Answer 1

不正确。一个矩阵与其相反数的乘积的逆矩阵，和该矩阵的逆矩阵并不相同。简单来说，$(-A)$的逆矩阵不等于$-A$的逆矩阵。
具体来说，设矩阵$A$的逆矩阵为$A^{-1}$，则有：
$(-A)\cdot(-A)^{-1}=I$
将等式两边同时乘以$-1$，得：
$A\cdot(-A)^{-1}=-I$
将等式两边同时乘以$(-1)^{-1}=-1$，得：
$A\cdot(-1)\cdot(-A)^{-1}=I$
即：
$-A\cdot(-A)^{-1}=I$
所以$(-A)^{-1}$等于$-A$的逆矩阵的相反数，即$(-A)^{-1}=-(A^{-1})$。